Дополнители (5)

Хех, думал-думал, а важнейшую вещь упустил из вида...Это я по поводу второго нашего условия - что предельная добавленная сахаром полезность будет пропорциональна полезности чая. В действительности - и я об этом сам и писал ранее - сама потребность в чае с сахаром может измениться в сравнении с потребностью в чае без сахара. В самом деле, сколько вы сможете съесть просто хлеба? А хлеба с маслом? А хлеба с маслом и икрой? Сколько вы можете съесть несоленого супа? А супа с солью и со специями? Понятно, что появление дополнительного блага не только увеличивает полезность основного блага, но и количество этого блага может быть потреблено в большем количестве.

Так что простите, но все нарисованные ниже графики нам придется зачеркнуть. Когда мы их рисовали, мы исходили из того, что если некто потребляет 30 фунтов чая без сахара, то и с сахаром максимальное количество чая для него составит 30 фунтов чая. А это, конечно, не так - с появлением сахара граница насыщения чаем отодвинется вправо, в сторону увеличения.


Синяя линия - предельная полезность чая без сахара, красная - чая с сахаром при оптимальном количестве сахара. Сахар сдвигает линию предельности вправо - ведь чая с сахаром можно выпить больше (допустим, 40 фунтов чая), вместо прежних 30 фунтов.


Конечно, очень хотелось бы, чтобы красная линия была параллельной синей, то есть чтобы добавленная сахаром полезность оставалась бы неизменной. Но никаких оснований считать таким образом у нас нет. Если мы едим бутерброды с ветчиной, то падать будет не только полезность каждого следующего куска хлеба, но и полезность каждого следующего куска ветчины. То есть наклон красной лини будет круче, чем синей - полезность бутерброда с ветчиной будет падать быстрее, чем полезность хлеба, а полезность чашки чая с сахаром будет падать быстрее, чем полезность чашки чая без сахара - ведь будет падать не только полезность чая, но и потребляемого вместе с чаем сахара. А потому рисуем так:



Кроме того, немного подумав, я все же прихожу к выводу, что и наше предположение о том, что полезность сахара с чаем будет уменьшаться пропорционально изменению полезности чая (то есть что отношение между значением по красной линии к значению по синей линии при заданном количестве чая будет оставаться одинаковым) вряд ли можно считать достаточно обоснованным. Строго говоря, полезность сахара будет уменьшаться совершенно независимо от того, как уменьшается полезность чая. В самом деле, почему полезность ветчины или икры, которые мы потребляем вместе с хлебом, должна зависеть от полезности хлеба? Никакой прямой связи между этими полезностями нет, а потому при увеличении чая с сахаром (по красной линии) полезность будет падать и у чая, и у добавленной полезности сахара, и при этом эти величины будут уменьшаться независимо друг от друга. Если мы не имеем ясного обоснования для какого-то положения - то от него лучше вовсе отказаться.

Во всем отстальном все наши остальные рассуждения и условия задачи остаются теми же. То есть у нас есть 15 фунтов чая и 20 фунтов сахара, при этом оптимальное количество сахара на фунт чая составляет 2 фунта, и теперь мы должны сравнить разный способ использования сахара.


И нам по-прежнему нужно сравнить площади заштрихованнных фигур, где зеленая линия показывает полезность чая с сахаром, если 20 фунтов сахара используются равномерно с 15 фунтами чая, то есть когда на каждый фунт чая мы используем 20/15=1,3 фунта сахара вместо оптимальных 2 фунтов.

Дополнители (6)

Что ж, как будет проходить линия полезности чая с сахаром, разобрались. Идем дальше - постараемся максимально ясно обозначить суть нашей задачи.

Сначала у нас есть только чай, функция общей полезности которого задается как U1=U1(x), а предельной полезности MU1(x)=MU1(x). Допустим, чая у нас на 6 чашек. И тут у нас появляется какое-то количество сахара - допустим 12 ложек. Теперь у нас есть выбор: мы можем положить сахар только в четыре чашки, но по три ложки, и тогда сладость чая будет для нас оптимальной или близкой к оптимальной - в таком случае добавленная сахаром полезность будет распределена по четырем чашкам. А можем положить не по три, а только по две ложки, и, поскольку какое-то количество сахара от этих четырех чашек высвободится, сахара теперь хватит на все шесть чашек чая. При этом добавленная сахаром полезность в каждой чашке, конечно, уменьшится (а предельная полезность сахара в каждой чашке, напротив, возрастет  - ведь теперь каждая чашка дальше от насыщения сахаром, чем прежде). Но зато мы теперь кладем сахар не в четыре чашки, а в шесть, и взамен потерянной полезности в сладости каждой чашки мы получаем дополнительную полезность за счет большего количества чашек, в которые кладем сахар.

Я уже давно не занимался высшей математикой, так что если я чего-то напутаю (и кто-то еще читает мои размышления по экономике) - просьба меня поправить. Но если я еще что-то помню из математики, то полезность, добавляемая сахаром, U2 будет функцией двух аргументов, то есть U2=U2(x, y), где x - это количество чашек, в которые мы кладем сахар, а у - количество сахара, которое мы кладем в каждую чашку. И тогда приращение этой функции dU2 будет равно сумме частных производных этой функции по аргументам, умноженным на дифференциалы соответствующих аргументов, то есть: dU2(x,y)= D(U/x)dx+D(U/y)dy, где D(U/x) и D(U/y) - частные производные U2 по x и y.

Теперь обозначим условие, когда при уменьшении количества сахара в каждой чашке и, соответственно, увеличения чашек чая с сахаром, добавленная сахаром полезность не изменится. Это условие означает, что приращение dU=0 - мы потеряли какую-то полезность из-за того, что сахара в каждой чашке стало меньше, но компенсировали это уменьшение за счет того, что чашек с сахаром стало больше. То есть это условие означает, что частные производные, помноженные на аргументы, должны быть равны: D(U/x)dx=D(U/y)dy. Теперь вспомним наше условие, что сахар мы всегда распределяем равномерно по всем чашкам, то есть y=ax, и тогда отношение частных производным должно будет равняться этой величине (a), определяющей, сколько сахара мы кладем на какое-то количество чая, то есть: [D(U/x)]/[D(U/y]=dy/dx=a. 


Вот и все. Наша задача решена. Нам остается лишь раскрыть смысл частных производных. Очевидно, что производная U2 по (х) будет определять изменение полезности за счет увеличения количества чашек чая с сахаром - а именно, скорость падения этой полезности, то есть предельную полезность сахара по количеству чая, а производная по (y) будет определять скорость падения сахара в зависимости от того, сколько мы его кладем в каждую чашку  - то есть предельную полезность сахара по количеству сахара в каждой чашке. И тогда наше отношение примет вид отношения предельных полезностой сахара, которое меняется в каждой чашке и меняется с увеличением чашек чая, и которое должно равняться величине (a): MU(x)/MU(y)=a.