Функция полезности (3)

Что ж, попробуем зайти к теории спроса с такой стороны. Спрос по сути есть обмен какого-то ресурса, имеющегося в ограниченном количестве, на определенные количества различных товаров (таким ресурсом выступают деньги). При этом условие задачи спроса предполагает, что обмениваться может не только данный ресурс, но и сами приобретаемые товары - ведь отказываясь от приобретения какого-то количества одного товара, мы тем самым получаем воможность затратить наш ресурс на приобретение большего количества другого товара. Таким образом, спрос можно рассматривать как задачу перекрестного выбора-обмена, когда совершается обмен между данным ресурсом и - посредством этого ресурса - имеющимися товарами. Кроме того, задача предполагает в качестве своего условия, что, во-первых, ресурс ограничен в количестве, во-вторых, он обменивается на товары весь, и, в-третьих, что этот ресурс однородный - то есть любая единица этого ресурса ничем не отличается от другой его единицы.

И вот при таких условиях потребитель попадает в ситуацию, когда перед ним лежит множество благ и ему теперь необходимо сделать выбор - то есть получить в обмен своего ресурса какие-то блага в каких-то количествах. Брать что попало и в неограниченных количествах он не может  - потому что он получает блага не просто так, а только в обмен на свой ресурс. И поэтому перед ним возникает задача по оптимизации своего выбора - он может выбрать только какие-то отдельные блага и только в определенных количествах, так как его ресурс ограничен. Это и есть задача определения спроса.

В сущности, это обычная математическая задачка по оптимизации функции, то есть получения максимального значения функции, зависимой от нескольких аргументов, которые в свою очередь меняются в зависимости от значения одного общего аргумента. И если мы принимаем, что функции возрастающие и имеют убывающую гладкую непрерывную первую производную (то есть возрастающую с увеличением количества товара общую полезность и убывающую предельную полезность), то такая задача имеет вполне определенное решение: выбор потребителя будет сделан таким образом, чтобы предельные полезности всех товаров были равны: MU(x1)=MU(x2)=...=MU(xn) 

Математические методы решения таких задач по оптимизации существуют разные, но часто используется метод Лагранжа, когда выстраивается специальная функция оптимизации. Задачи такие появляются, конечно, не только в экономике, а всюду, где необходимо решить задачу оптимизации по какому-то  одному ресурсу или общему аргументу - ну, скажем, необходимо рассчитать оптимальную траекторию движения, которая зависит от координат в трехмерном пространстве, которые в свою очередь зависят от времени и скорости движения - ведь такая траектория будет оптимальной с энергетической точки зрения, и именно по такой траектории будут двигаться частицы в вакууме. (Кстати, обратите внимание в описании метода Лагранжа по ссылке на пример с тропинкой в горах. Вам ничего этот "рисунок местности" не напоминает? Да, именно так: задача нахождения самой высокой точки на тропинке в горах математически ничем не отличается от задачи поиска наибольшей общей полезности двух товаров -  линии одинакого уровня высоты соответствуют кривым безразличия, а функция, задающая тропинку, соответствует бюджетной линии. И еще обратите также внимание, насколько этот рисунок местности с тропинкой и вершиной в горах похож на расходящиеся эллипсы c точкой насыщения - то есть мы были абсолютно правы, когда утверждали, что кривые безразличия - если предельные полезности являются линейными фунциями - следует рассматривать как дуги эллипсов с общим центром в точке насыщения, а сам метод построения теории спроса по кривым безразличия есть обычная задача оптимизации канонических функций).

Почему это будет именно так, то есть почему обмен состоится именно в таком соотношении товаров, что их предельные полезности будут равны, можно показать с помощью следующего простейшего примера. Допустим Маша принесла в школу яблоки и груши, а у Пети имеются цветные фантики, которые он теперь хочет обменять на яблоки и груши. Предположим, что Петя обменял фантики на 5 груш и 3 яблока, при этом обмен происходит по цене 1 яблоко=1 фантик и 1 груша=1 фантик, и в результате обмена предельная полезность 5 груш для него оказалась меньше, чем предельная полезность 3 яблок. В таком случае, отказавшись от одной груши, он сможет высвободить один фантик и обменять его на одно дополнительное яблоко. И так как предельная полезность 5 груш для него меньше, чем трех яблок, то, отказавшись от груши для получения дополнительного яблока, он тем самым получит более выгодную для себя ситуацию - ведь он отказывается от меньшей полезности груши и получает большую полезность дополнительного яблока. То есть при любой ситуации, когда предельные полезности яблок и груш не равны, имеется возможность улучшить ситуацию с точки зрения максимализации полезности яблок и груш, и наиболее выгодным обменом для Пети будет тот, когда предельные полезности яблок и груш для него будут равны.

Здесь, правда, очень важным условием является равенство "цены" яблок и груш, то есть условие, что для Маши полезность яблок и груш одинаковая и она не меняется от количества оставшихся у нее яблок и груш, и вторым условием является равенство полезности фантиков для Маши, то есть условие, что полезность фантиков для Маши не меняется в зависимости от их количества. То есть условием решения задачи оптимизации для Пети в приведенном примере является равенство цены яблок и груш: Маша обменивает яблоки и груши всегда за один фантик. 

Все это далеко не ново, и что оптимальный обмен произойдет именно при равенстве предельных полезностей благ, сформулировал еще немецкий экономист Госсен. Правда, Госсен в качестве обмениваемого на блага ресурса рассматривал не фантики и не деньги, а время, и второй закон Госсен гласил: "Индивид, обладающий свободой выбора между некоторым числом разных видов потребления, но не имеющий достаточно времени использовать все их сполна, в целях достижения максимума своего наслаждения, как бы различна ни была абсолютная величина отдельных наслаждений, должен, прежде чем использовать полностью наибольшее из них, использовать все их частично, и притом в таком соотношении, чтобы размер каждого наслаждения в момент прекращения его использования у всех видов потребления оставался равным."  Ну, и как отмечается в учебнике по экономикс: "Современным языком этот закон можно сформулировать следующим образом: чтобы получить максимум полезности от потребления заданного набора благ за ограниченный период времени, нужно каждое из них потребить в таких количествах, при которых предельная полезность всех потребляемых благ будет равна одной и той же величине. Если такого равенства нет, то за счет перераспределения времени, выделенного на потребление отдельных благ, можно увеличить общую полезность". (Учебник по ссылке, кстати, очень хороший - лучше я не видел).

Нетрудно понять, что время в данном случае является идеальным ресурсом обмена для первого шага в теории спроса, так как оно отвечает всем поставленным выше условиям: оно однородно и каждая единица времени равна любой другой, этот ресурс может быть задан как ограниченное количество, а "цена" обмена для всех благ здесь одинакова, так как блага здесь вообще никто не продает, а они просто обмениваются на время. То есть такая модель позволяет не только исключить фактор стоимости денег, но и фактор цены - и именно поэтому определение "спроса Госсена" является идеальной моделью для понимания первой фундаментальной закономерности обмена какого-то ресурса на блага.

А вот дальше нам необходимо сделать второй, третий и последующие шаги, то есть определить спрос, уже принимая во внимание стоимость денег и различие в ценах.