runo_lj: (Default)
Теперь посмотрим, как будет выглядеть кривая безразличия для чая и сахара. То, что у сахара нет собственной полезности без чая, еще не отменяет того факта, что мы можем, увеличивая количество чая и уменьшая количество сахара, менять полезность чая с сахаром таким образом, чтобы их общая полезность оставалась неизменной - а это и есть условие построения кривой безразличия.

Возьмем за исходную точку такое количество чая и сахара, что сахара хватает на все количество чая и при этом на каждый фунт чая приходится максимально возможное количество сахара - то есть каждая чашка насыщена сахаром. Если мы при этом будем увеличивать количество сахара, не изменяя количество чая, то общая полезность чая с сахаром не изменится  - ведь больше сахара нам не нужно, и его употребление здесь невозможно:


Чай_сахар 
Если мы, как в нашем примере ниже, будем считать, что насыщение сахаром происходит, когда на каждый фунт чая приходитя 2 фунта сахара, то при количестве чая в 15 фунтов значение сахара будет равно 30 фунтам. И сколько бы мы ни увеличивали количество сахара сверх 30 фунтов, если количество чая остается тем же, общая полезность не изменится, и мы будем оставаться на той же кривой безразличия - что и показано на рисунке в виде вертикальной линии.

Теперь будем увеличивать количество чая. С увеличением количества чая общая полезность чая с сахаром увеличится за счет чая - и поэтому это увеличиение нужно как-то компенисировать за счет уменьшения количества сахара. При этом нужно учитывать, что распределение сахара по всему количеству чая и при максимальной насыщении не является оптимальным. То есть если мы увеличим количество чая и при этом оставим то же количество сахара, сахар может быть перераспределен таким образом, что его добавленная полезность не только останется той же, но даже возрастет. Поэтому чая нам нужно убирать для компенсации увеличиения общей полезности чая с сахаром больше, чем в случае, если бы чая и сахар имели независимую полезность.


Если мы будем и дальше увеличивать количество чая и все больше уменьшать количество чая для компенсации увеличения общей полезности, то чая у нас будет все больше, а сахара будет оставаться все меньше. То есть линия общей полезности будет все больше приближаться к линии полезности чая без сахара. И когда в какой-то момент сахара не останется вовсе, мы перейдем к обычной кривой полезности чая. При этом чай еще может не достигнуть точки насыщения, а может - если мы в самом начале возьмем больше чая и больше сахара  - и достигнуть. То есть кривые безразличия будут выглядеть таким образом:


Чай_сахар_2

Если мы возьмем в самом начале больше чая, то и сахара мы должны брать больше. Условие останется тем же - то есть увеличение сахара не вызовет изменения общей полезности, поэтому на этом участке кривая безразличия для большей общей полезности также примет вид вертикальной линии. Но поскольку соотношение чая и сахара для полного насыщения какого-то количества чая, остается тем же, то все эти начальные точки будут лежать на одной прямой вида y=Cx, где y - количества схара, x - количествоа чая, а C - некая константа, определяющая сколько нам нужно сахара для для того, чтобы мы получили полное насыщение каждого фунта чая (в нашем примере C=2).

То есть в случае, если дополнителем служит только одно благо, то кривая базразличия в одной своей части будет иметь прямую линию, а во второй - обычный вид.
runo_lj: (Default)
Уравнение MUx/MUy=a показывает нам, сколько фунтов сахара нужно использовать на каждый фунт чая (или, грубо говоря, сколько ложек сахара нужно класть в каждую чашку чая) для того, чтобы получить от использования сахара наибольшую полезность - то есть показывает оптимальное распределение сахара по чаю. Класть сахара в чай нужно в пропорции (a), где велична (a) определяется как отношение предельных полезностей сахара по количеству чая и по количеству сахара на каждую единицу чая (или частных производных функции U2 по x и y). Для понимания этого можно привести рассуждение, которое мы уже приводили ранее относительно оптимального количества различных благ, когда мы показывали, что оптимальные количества благ будут получены, если предельные полезности всех благ равны.

В самом деле, допустим, что MUx<aMUy - то есть предельная полезность, добавленная сахаром отдельной чашке, меньше предельной полезности, добавленной новой чашкой чая с сахаром, помноженной на (a). Тогда мы можем несколько уменьшить количество сахара в каждой чашке чая и использовать этот высвободившийся сахар для того, чтобы увеличить количество чая, употребляемого с сахаром - то есть мы используем сахар для получения большей полезности. Аналогичным образом мы поступим и в случае, если MUx>aMUy - тогда мы будем уменьшать количество чая, потребляемого с сахаром, и будем увеличивать количество сахара в каждой чашке чая - до тех пор, пока мы не придем к равенству.

Из этого следует, что, вообще говоря, оптимальным использованием сахара будет равномерное его распределение по какому-то количеству чашек чая - при этом, если количество сахара будет возрастать, мы будем постепенно увеличивать как количество сахара, которое мы кладем в каждую чашку, так и количество чашек чая, в которые мы кладем сахар. То есть ситуация, когда мы используем весь сахар для определенного количества чая так, что мы получаем максимальное насыщение сахаром, будет неэффективной. Столь же неэффективной будет и ситуация, когда мы весь сахар используем для всего имеющегося у нас количества чая. В действительности, оптимальным потребительским решением будет использование сахара таким образом, что мы будем иметь в каждой чашке чая сахара в меньшем количестве, чем это требуется для максимальной полезности этой чашки с сахаром, и мы никогда не будем использовать сахар для всех чашек чая. То есть оптимальный вариант будет промежуточным между двумя этими крайними вариантами - каждая чашка чая будет иметь меньше сахара, чем нам того хотелось бы в соответствии с нашим вкусом, и при этом использовать сахар мы будем не для всего чая, а только для части его, и какое-то количество чая мы будем потреблять без сахара.

Это вполне понятно на уровне здравого смысла. Скажем, если у хозяйки имеется ограниченное количество соли, то она не будет использовать соль для каких-то продуктов "по полной". Если она готовит суп и кашу, она не положит всю соль только в суп, оставив кашу вовсе несоленой, а положит соли в суп и в кашу несколько меньше, чем она кладет обычно в соответствии со своими вкусами при достатке соли. Если же есть еще какие-то, менее важные блюда, то она предпочтет их использовать вовсе без соли, нежели недосолить суп и кашу настолько, что их есть станет невозможно - скорее она положит в основные блюда чуточку меньше соли, чем требуется, а не так мало соли, что есть суп или кашу станет невозможно. То есть экономия соли будет иметь место, но в умеренных размерах, и хозяйка предпочтет чуть недосолить суп и кашу, а второстепеннные блага использовать вовсе без соли, чем использовать соль для всех блюд, так что все они будут жутко недосолеными, или же чем использовать всю соль только для супа, оставив кашу вовсе без соли.

Графически это можно показать так:

Дополнители_8
Если сахара меньше, чем требуется для полного насыщения всего количества чая, тогда при увеличиении количества сахара мы будем несколько увеличивать количество сахара, которое мы кладем в каждую чашку - то есть добавленная сахаром полезность будет расти по вертикали, и при этом одновременно увеличивать количество чая, используемого с сахаром - то есть добавленная полезность будет расти по горизонтали. Это изменение показано синим. Если количество сахара увеличится еще на какую-то величину, мы поступим аналогичным образом, распределив сахар по количеству чая и использовав его для увеличиния в каждой чашке - это изменение показано оранжевым. И так далее - до тех пор, пока сахара не станет столько, что его хватит на все имеющееся количество чая и для полного насыщения каждой чашки чая. Понятно, что к этой ситуации мы придем одновременно - то есть распределить сахар по всему количеству чая мы сможем только одновременно с полным насыщением сахаром каждой чашки чая (при условии, что насыщение достигается при двух фунтах сахара на фунт чая, мы используем сахар для 15 фунтов чая, только когда количество сахара достигнет 30 фунтов).  

Понятно также, что если сахара меньше, чем того требуется для полного насыщения данного количества чая, линия предельной полезности чая с сахаром будет представлять собой ломаную линию: мы распределяем сахар для какого-то количества чая и потребляем это количество чая с сахаром, а потом сахар заканчиватся, и мы оставшийся чай пьем уже без сахара - то есть с линии полезности "чай с сахаром" мы "падаем" на линию полезности "чая без сахара".

Но на нашем рисунке мы взяли за основу старый график, в котором не учитывается, что использование сахара отодвигает потребности в чае вправо. Если мы учтем, что использование сахара увеличивает потребность в чае, то линия предельной полезности чая с сахаром при условии, что сахара меньше, чем требуется для полного насыщения данного количества чая, будет выглядеть следующим образом:


Дополнители_9  
Синия линия - линия предельной полезности чая без сахара, красная - линия предельная полезности чая с сахаром, когда сахара в достаточном количестве - то есть когда каждая чашка чая достигает насыщения сахаром. В случае же, если сахара меньше, то общая линия предельной полезности будет проходить так, как проходит зеленая линия: мы используем сахар для какого-то количества чая (в данном случае - для 10 фунтов чая), а дальше весь оставшийся чай пьем уже без сахара. И поэтому при 10 фунтах чая происходит падение полезности. Но при этом мы упадем не на линию предельной полезности чая без сахара при 10 фунтах чая, а на значение предельной полезности, несколько более высокое  - ведь первые 10 фунтов чая мы потребили с сахаром, и поэтому потребность в чае при каком-то количестве сахара все же сдвинется вправо. И полезность 10-го фунта чая, который мы начинаем потреблять уже без сахара, будет несколько выше, чем если бы все эти 10 фунтов чая потреблялись вовсе без сахара - то есть полезность 10-го фунта чая будет равна примерно полезности 7-8-го фунта чая по синей линии.


Хотелось бы еще раз подчеркнуть, что красную линию или участок зеленой линии до 10 фунтов мы не можем рассматривать как сумму полезностей чая и сахара. Мы должны всюду говорить именно о полезности чая с сахаром, и зеленая линия будет показывать нам полезность чая с сахаром при условии, что сахара меньше нужного количества. Отдельно сахар своей полезности не имеет, и то, какую полезность он добавяет чаю, зависит не только от свойств сахара, но и от свойства чая. Для нас "чай с сахаром" - это единая потребность и единая полезность. И, скажем, если бы мы использовали то же количество сахара для того же количество кофе, эффект добавленной сахаром полезности мог бы быть совершенно другим, и в этом случае нам нужно говорить о благе "кофе с сахаром", полезность которого вовсе не складывается механически из полезности кофе и сахара.

В этом состоит особенность таких дополнительных благ, как сахар, соль, специи и прочее. Мы никогда не можем говорить о собственной полезности этих благ, но всегда - только о полезности сочетания их с другими, "базовыми", благами.  
runo_lj: (Default)
Что ж, как будет проходить линия полезности чая с сахаром, разобрались. Идем дальше - постараемся максимально ясно обозначить суть нашей задачи.

Сначала у нас есть только чай, функция общей полезности которого задается как U1=U1(x), а предельной полезности MU1(x)=MU1(x). Допустим, чая у нас на 6 чашек. И тут у нас появляется какое-то количество сахара - допустим 12 ложек. Теперь у нас есть выбор: мы можем положить сахар только в четыре чашки, но по три ложки, и тогда сладость чая будет для нас оптимальной или близкой к оптимальной - в таком случае добавленная сахаром полезность будет распределена по четырем чашкам. А можем положить не по три, а только по две ложки, и, поскольку какое-то количество сахара от этих четырех чашек высвободится, сахара теперь хватит на все шесть чашек чая. При этом добавленная сахаром полезность в каждой чашке, конечно, уменьшится (а предельная полезность сахара в каждой чашке, напротив, возрастет  - ведь теперь каждая чашка дальше от насыщения сахаром, чем прежде). Но зато мы теперь кладем сахар не в четыре чашки, а в шесть, и взамен потерянной полезности в сладости каждой чашки мы получаем дополнительную полезность за счет большего количества чашек, в которые кладем сахар.

Я уже давно не занимался высшей математикой, так что если я чего-то напутаю (и кто-то еще читает мои размышления по экономике) - просьба меня поправить. Но если я еще что-то помню из математики, то полезность, добавляемая сахаром, U2 будет функцией двух аргументов, то есть U2=U2(x, y), где x - это количество чашек, в которые мы кладем сахар, а у - количество сахара, которое мы кладем в каждую чашку. И тогда приращение этой функции dU2 будет равно сумме частных производных этой функции по аргументам, умноженным на дифференциалы соответствующих аргументов, то есть: dU2(x,y)= D(U/x)dx+D(U/y)dy, где D(U/x) и D(U/y) - частные производные U2 по x и y.

Теперь обозначим условие, когда при уменьшении количества сахара в каждой чашке и, соответственно, увеличения чашек чая с сахаром, добавленная сахаром полезность не изменится. Это условие означает, что приращение dU=0 - мы потеряли какую-то полезность из-за того, что сахара в каждой чашке стало меньше, но компенсировали это уменьшение за счет того, что чашек с сахаром стало больше. То есть это условие означает, что частные производные, помноженные на аргументы, должны быть равны: D(U/x)dx=D(U/y)dy. Теперь вспомним наше условие, что сахар мы всегда распределяем равномерно по всем чашкам, то есть y=ax, и тогда отношение частных производным должно будет равняться этой величине (a), определяющей, сколько сахара мы кладем на какое-то количество чая, то есть: [D(U/x)]/[D(U/y]=dy/dx=a. 


Вот и все. Наша задача решена. Нам остается лишь раскрыть смысл частных производных. Очевидно, что производная U2 по (х) будет определять изменение полезности за счет увеличения количества чашек чая с сахаром - а именно, скорость падения этой полезности, то есть предельную полезность сахара по количеству чая, а производная по (y) будет определять скорость падения сахара в зависимости от того, сколько мы его кладем в каждую чашку  - то есть предельную полезность сахара по количеству сахара в каждой чашке. И тогда наше отношение примет вид отношения предельных полезностой сахара, которое меняется в каждой чашке и меняется с увеличением чашек чая, и которое должно равняться величине (a): MU(x)/MU(y)=a.
runo_lj: (Default)
Хех, думал-думал, а важнейшую вещь упустил из вида...Это я по поводу второго нашего условия - что предельная добавленная сахаром полезность будет пропорциональна полезности чая. В действительности - и я об этом сам и писал ранее - сама потребность в чае с сахаром может измениться в сравнении с потребностью в чае без сахара. В самом деле, сколько вы сможете съесть просто хлеба? А хлеба с маслом? А хлеба с маслом и икрой? Сколько вы можете съесть несоленого супа? А супа с солью и со специями? Понятно, что появление дополнительного блага не только увеличивает полезность основного блага, но и количество этого блага может быть потреблено в большем количестве.

Так что простите, но все нарисованные ниже графики нам придется зачеркнуть. Когда мы их рисовали, мы исходили из того, что если некто потребляет 30 фунтов чая без сахара, то и с сахаром максимальное количество чая для него составит 30 фунтов чая. А это, конечно, не так - с появлением сахара граница насыщения чаем отодвинется вправо, в сторону увеличения.

Дополнители_7
Синяя линия - предельная полезность чая без сахара, красная - чая с сахаром при оптимальном количестве сахара. Сахар сдвигает линию предельности вправо - ведь чая с сахаром можно выпить больше (допустим, 40 фунтов чая), вместо прежних 30 фунтов.


Конечно, очень хотелось бы, чтобы красная линия была параллельной синей, то есть чтобы добавленная сахаром полезность оставалась бы неизменной. Но никаких оснований считать таким образом у нас нет. Если мы едим бутерброды с ветчиной, то падать будет не только полезность каждого следующего куска хлеба, но и полезность каждого следующего куска ветчины. То есть наклон красной лини будет круче, чем синей - полезность бутерброда с ветчиной будет падать быстрее, чем полезность хлеба, а полезность чашки чая с сахаром будет падать быстрее, чем полезность чашки чая без сахара - ведь будет падать не только полезность чая, но и потребляемого вместе с чаем сахара. А потому рисуем так:


Дополнители_7
Кроме того, немного подумав, я все же прихожу к выводу, что и наше предположение о том, что полезность сахара с чаем будет уменьшаться пропорционально изменению полезности чая (то есть что отношение между значением по красной линии к значению по синей линии при заданном количестве чая будет оставаться одинаковым) вряд ли можно считать достаточно обоснованным. Строго говоря, полезность сахара будет уменьшаться совершенно независимо от того, как уменьшается полезность чая. В самом деле, почему полезность ветчины или икры, которые мы потребляем вместе с хлебом, должна зависеть от полезности хлеба? Никакой прямой связи между этими полезностями нет, а потому при увеличении чая с сахаром (по красной линии) полезность будет падать и у чая, и у добавленной полезности сахара, и при этом эти величины будут уменьшаться независимо друг от друга. Если мы не имеем ясного обоснования для какого-то положения - то от него лучше вовсе отказаться.

Во всем отстальном все наши остальные рассуждения и условия задачи остаются теми же. То есть у нас есть 15 фунтов чая и 20 фунтов сахара, при этом оптимальное количество сахара на фунт чая составляет 2 фунта, и теперь мы должны сравнить разный способ использования сахара.

Дополнители_7
И нам по-прежнему нужно сравнить площади заштрихованнных фигур, где зеленая линия показывает полезность чая с сахаром, если 20 фунтов сахара используются равномерно с 15 фунтами чая, то есть когда на каждый фунт чая мы используем 20/15=1,3 фунта сахара вместо оптимальных 2 фунтов.
runo_lj: (Default)
Теперь попробуем сравнить общую полезность чая с сахаром при разном использовании сахара. Нетрудно понять, что эта разница будет зависеть от соотношения заштрихованных фигур 1 и 2 на рисунке ниже:

Дополнители_5

Суть изменения состоит в том, что мы можем уменьшать количество сахара, потребляемого с 10 фунтами чая, и использовать высвободившийся сахар для того, чтобы увеличить количество чая, употребляемого с сахаром. То есть уменьшение полезности чая с сахаром при 10 фунтах чая позволяет нам увеличить количество чая с сахаром свыше 10 фунтов.


Дополнители_5

Здесь эти изменения показаны красным - уменьшая площадь фигуры 1, мы тем самым можем увеличивать площадь фигуры 2. При каком-то значении распределение сахара для 15 фунтов чая станет равномерным - то есть линия добавленной полезности чая будет проходить по линии, исходящей из точки A. Понятно, что соотношение фигур 1 и 2 будет зависеть от того, с какой скоростью уменьшается фигура 1 и с какой скоростью при этом увеличивается фигура 2.

Красная линия обозначает добавленную полезность сахара при условии, что сахар используется в оптимальном количестве - в нашем примере на каждый фунт чая требуется 2 фунта сахара. Но что значит оптимальное количество сахара? Это означает, что каждая чашка чая (или каждый фунт чая) получает максимально возможную добавленную полезность от сахара. Если мы увеличим или уменьшим количество сахара на фунт или чашку чая, то общая полезность чая с сахаром уменьшится. "Переслащивать" - то есть класть сахара больше оптимального количества - для нас вообще смысла нет (мы таким образом просто используем сахар впустую), а вот уменьшать это количество вполне имеет смысл - ведь высвободившийся сахар мы можем использовать для того, чтобы посластить еще какое-то количество чая сверх 10 фунтов. То есть оптимальное количество сахара просто означает, что каждая чашка чая насыщена сахаром, - то есть что общая добавленная полезность сахара, приходящегося на каждую чашку или на каждый фунт чая, здесь максимальна.

Таким образом, красная линия показывает нам границу насыщения чая сахаром - линию, при которой предельная полезность сахара для данного количества чая равна нулю. А значит, любая линия между синей и красной линией будет показывать нам предельную добавленную полезность сахара для данного количества чая, при условии, что сахар распределяется равномерно - то есть на каждую чашку или фунт чая мы используем одинаковое количество сахара.

При этом ранее мы приняли два условия:


1). При равномерном использовании сахара его количество растет пропорционально количеству чая. Это условие является просто условием равномерного использования сахара. Но пропорциональная зависимость между чаем м сахаром может меняться - если мы всегда кладем оптимальное количество сахара, то в нашем примере на каждый фунт чая приходится 2 фунта сахара, если же мы кладем сахара меньше оптимального количества, то количество сахара также будет меняться пропорционально количеству чаю, но пропорция будет другая, меньшая.


2). Предельная полезность чая с сахаром при равномерном использовании сахара меняется пропорционально предельной полезности чая без сахара. Это условие не столь очевидно, но на интуитивном уровне понятно, что, поскольку сахар собственной отдельной полезности не имеет, то предельная полезность каждой новой чашки чая с сахаром будет меняться в зависимости от изменения предельной полезности чая без сахара. Чай здесь выступает базовым благом, а сахар - зависимым, и сахар только доставляет всегда какое-то количество дополнительной полезности для каждой чашки, и поскольку мы кладем в каждую чашку одинаковое количество сахара (то есть предельная полезность сахара для отдельной чашки всегда остается той же), то общая полезность чашки чая с сахаром будет зависеть только от того, как меняется полезность чая, а общая полезность чая с сахаром всегда будет изменяться пропорционально этому изменению.


В случае, если на каждый фунт чая мы используем 2 фунта сахара - то есть если каждая чашка чая имеет оптимальное для нас количество сахара - для первой чашки чая сахар доставит добавленную полезность в 5 единиц полезности (15-10). 5 единиц полезности - это общая полезность, добавленная сахаром для чашки чая, при этом максимально возможная полезность, которую можно получить от сахара для чашки чая. То есть соотношение предельной полезности "чашки чая с сахаром" к предельной полезности "чашки чая без сахара" составляет 1,5 (15/10) - сахар увеличивает полезность каждой чашки в 1,5 раза. И в этом случае вполне разумно предположить, что и для всех последующих чашек чая сахар будет увеличивать полезность в такой же пропорции - ведь сахара мы используем столько же, и соотношение между чаем м сахаром не меняется. При этом, конечно, полезность каждой новой чашки чая с сахаром будет падать - но падать в строгой зависимости от того, как падает полезность чашки чая без сахара. То есть предельная полезность чашки чая с сахаром всегда будет пропорциональна предельной полезности чашки чая без сахара - и при оптимальной количестве сахара это отношение всегда будет равно 1,5: MU(1+2)=1,5MU1, где MU(1+2) - предельная полезность чая с сахаром, а MU(1) - предельная полезность чая без сахара.

В случае, если мы кладем сахара меньше оптимального количества (наша линия, исходящая из точки A), эта пропорция, конечно, тоже уменьшится, но она будет оставаться той же самой для любой чашки чая: MU (чая с сахаром)/MU(чая без сахара)=С, где 1<С<1,5. Именно этот коэффициент C и будет определять, как будет проходить линия предельной полезности чая с сахаром.
runo_lj: (Default)
Что произойдет, если оптимальное (пропорциональное) соотношение между количеством чая и сахара нарушится? Случай, когда сахара больше, чем нужно, мы уже рассмотрели ниже: весь излишек сахара просто не будет использоваться, так как переслащенный чай будет иметь меньшую полезность, нежели чай с оптимальной для нас сладостью, и поэтому мы предпочтем не использовать излишек сахара вовсе. То есть любое увеличение количества сахара сверх оптимального не приведет к изменению полезности чая с сахаром - пока не увеличится пропорционально количество чая. Здесь проявляется особенность сахара как дополнительного товара.

Теперь допустим, что сахара меньше, чем нам требуется для данного количества чая - скажем, чая у нас 15 фунтов, а сахара не 30, как нам того бы хотелось, а только 20. Тогда потреблять сахар мы можем по-разному: мы можем выпить какое-то количество чая и класть по три ложки, как мы любим (то есть использовать 20 фунтов чая для 10 фунтов чая), а оставшееся количество чая (5 фунтов) пить вовсе без сахара. А можем при потреблении всего количества чая класть меньше сахара - так, чтобы его хватило на все количество чая, то есть использовать 20 фунтов сахара на все 15 фунтов чая. Изменится ли полезность чая с сахаром в засимости от того, как мы используем сахар?

В первом случае общая полезность чая с сахаром будет выглядеть так (площадь желтой фигуры):

Дополнители_4

Мы по-прежнему кладем сахара столько, сколько нужно, но его хватает при таком использовании только на 10 фунтов чая, и какое-то количество чая (5 фунтов) тогда нам придется пить вовсе без сахара. Определим общую полезность чая и сахара. Полезность 15 фунтов чая без сахара равна U1(15), и теперь к ней нужно добавить дополнительную полезность, доставляемую 20 фунтами сахара 10 фунтам чая, которая определяется как: U2(10, 20). Тогда общая полезность S1=U1(15)+U2(10, 20). 

Во втором случае мы будем иметь:

Дополнители_3
Здесь мы используем сахар для всего имеющегося количества чая, но поскольку мы кладем на каждую чашку чая сахара меньше, чем нам того хотелось бы в соответствии  с нашими вкусами, то полезность каждой чашки чая с сахаром будем меньше, чем при оптимальном количестве сахара. Общая полезность чая с сахаром тогда будет равна: S2=U1(15)+U2(15, 20). 

Тогда разница общих полезностей: S2 - S1= U2(15, 20) - U2(10, 20). То есть разница составляет приращение функции U2 по количеству чая.
runo_lj: (Default)
Прежде всего, понятно, что оптимальное количество сахара всегда прямо пропорционально количеству чая. В самом деле, ведь если некто пьет чай с сахаром и при этом кладет каждый раз по три ложки сахара в стакан чая, то количество сахара, требуемого ему для чая, будет всегда пропорционально количеству потребляемого чая, то есть количество сахара (у) будет всегда связано с количеством чая (x) прямой зависимостью: y=ax. В случае, если это соотношение нарушается, то сахара становится меньше или больше, чем нужно. При этом недостаток сахара будет означать уменьшение полезности чая с сахаром, а если сахара больше, то полезность избыточного количества сахара будет равна нулю, и полезность чая с сахаром останется той же  (избыточный сахар мы предпочтем вовсе не использовать, нежели класть его в чай и переслащивать, тем самым уменьшая полезность чая).

То есть говорить в данном случае о какой-то отдельной полезности сахара уже не приходится. Если мы обозначим полезность чая с сахаром за U, то U(x,y)=U1(x)+U2(x,y), где U1(x) - полезность чая без сахара, а U2(x,y) - дополнительная полезность, которую доставляет чаю сахар. Но мы не можем сказать, что функция U2 является функцией полезности сахара - это именно дополнительная полезность, получаемая от использования сахара. Даже если бы у дополнительного блага была своя полезность - то есть если бы это благо можно было потреблять без чая, полезность двух благ вместе вовсе не обязательно скадывалась бы из полезностей двух благ: скажем, если кто-то любит чай с молоком, то полезность чая с молоком, возможно, будет для него выше, чем суммарная полезность чая и молока по-отдельности в тех же количествах.

В этом состоит важна особенность дополнительного блага: его полезность не существует отдельно от полезности того блага (или нескольких благ), с которыми оно потребляется. Какова полезность соли без тех продуктов, с которыми она употребляется? Полезность соли равна нулю, она определяется только увеличением полезности тех продуктов и блюд, при потреблении которых используется соль. Причем эта добавленная полезность может быть весьма значительной - сравните суп или мясо без соли и те же бюда, приготовленные с использованием соли. 

И вторая особенность дополнительного блага состоит в том, что его оптимальное количество всегда пропорционально количеству того блага, с которым оно используется. Недосоленный суп еще есть можно, но если вы пересолите блюдо или пересластите чай, то полезность излишнего количества соли или сахара становится отрицательной. То есть избыток соли или сахара, сверх пропорционального количества блага, с которым они употребляются, уже не имеет никакой дополнительной полезности. 

Из этого следует, что пропорциональный характер имеет не только соотношение количества дополнительного блага с благом, с которым оно потребляется, но и полезность блага с дополнительным благом всегда пропорционально полезности основного блага. Есть если мы кладем три ложки на чашку чаю, то если мы будем иметь сахара шесть ложек при двух чашках чая, предельная полезность второй чашки с сахаром изменится пропорционально изменению предельной полезности чая, то есть оптимальное использование дополнительного блага предполагает не равенство предельной полезности дополнительного блага и основного блага, а равенство отношения их предельных полезностей. Графически это можно изобразить так:

Дополнители_1

Здесь предельная полезность "чая без сахара" изображена синей лининей, предельная полезность "чая с сахаром" - красной, при этом оптимальное потребление сахара с чаем для данного потребителя сооотносится как 1 фунт чая=2 фунта сахара. Желтая фигура показывает, какую допонительную полезность чаю доставляет сахар при оптимальном его использовании, то есть когда на каждый фунт чая используется два фунта сахара.

Так вот понятно, что сравнивать предельную полезность сахара с предельной полезностью чая мы здесь не можем - просто потому, что никакой отдельной полезности сахара не существует. Мы должны сравнивать предельную полезность "чая без сахара" с "чаем с сахаром", и оптимальное количество сахара не только должно быть всегда пропорционально количеству чая, но и предельная полезность чая с сахаром всегда должна относиться пропорционально к предельной полезности чая без сахара. Убывание полезности чая с сахаром связано с убыванием полезности основного блага - чая, и предельная полезность чая с сахаром будет убывать с той же скоростью, что и предельная полезность чая. То есть в нашем случае, отношение предельных полезностей всегда должно оставаться равным 15/10=3/2. 
runo_lj: (Default)
Понятно, что изменение количества одного блага может повлиять на полезность других благ только в том случае, если это благо является дополнителем или заместителем для других благ. У Ирвинга Фишера есть хорошой пример с хлебом, печеньем и маслом, где масло служит дополнительным благом к хлебу и печенью, а хлеб и печенье выступают в качестве заместителей друг друга. И тогда изменение количества хлеба приведет к изменению полезности печенья и масла - если количество хлеба увеличится, то полезность печенья уменьшится, а масла, напротив, возрастет. То есть для того, чтобы определить влияние изменения количества какого-либо блага на все прочие блага, нам нужно установить влияние эффекта замещения и эффекта дополнения.

Хотелось бы отметить, что наши дальнейшие рассуждения о дополнительных и замещающих благах не имеют отношения к эффекту замещения и эффекту дохода, описанным Слуцким и Хиксом. У них речь идет о влиянии изменения цен и дохода на потребление различных товаров, но при этом предполагается, что полезности всех товаров независимы друг от друга, и изменение количества какого-либо товара не влечет за собой изменения полезности других товаров. Только при таком условии кривые безразличия и рассмотренные ими эффекты замещения и дохода будут иметь такой вид. Мы же пока вовсе не касаемся цен и дохода, а попытаемся исследовать влияние одних товаров на другие, то есть рассмотрим проблему изменения общей и предельной полезности блага в зависимости от того, выступают ли они дополнительными или замещающими благами, в "чистом виде" - как влияние полезностей товаров, вне отношения к ценам и доходам.

В случае "жесткой дополнительности" двух благ или вещей (правый и левый ботинок) кривая безразличия для таких дополнительных товаров строится таким образом:

Дополнители
Любое увеличение одного товара не приведет к изменению общей полезности, пока не изменится количество другого товара. Сэру Баскервилю, когда он прибыл в Лондон и у него украли ботинок, не оставалось ничего другого, как бросить оставшийся ботинок в камин - без второго ботинка полезность первого стала равна нулю.

Но это случай, когда оба товара не могут использоваться без другого - чаще всего такими товарами выступают различные технические комплектующие. В случае с чаем и сахаром мы вполне можем пить чай и без сахара, хотя при этом полезность чая без сахара будет меньше, а вот полезность сахара без чая будет равна нулю. Рассмотрим такой случай, когда мы можем потреблять один товар без другого, но когда второй товар выступает дополнительным к первому и без первого не потребляется - на примере чая и сахара.
runo_lj: (Default)
Проблема функции полезности для отдельного блага состоит в том, что задать такую функцию без принятия во внимание того влияния, которое оказывают на нее другие блага, мы не можем. Мы уже приводили примеры дополнительных благ - чая и сахара, когда изменение количества сахара влечет за собой изменение полезности чая (и увеличение потребности в чае), но это верно и в отношении большинства прочих благ. Для субъекта как потребителя отдельные потребности не существуют сами по себе, и потребление одного блага вызывает изменение потребностей в других благах - ну, скажем, после хорошего обеда всегда хочется пить, и чувство жажды возрастает, а это значит, что уровень удовлетворения потребноcти в еде оказывает влияние на потребности в питье, а значит, полезность всех благ, используемых для удовлетворения жажды, будет зависеть от количества благ, потребляемых в качестве пищи. И по мере увеличения количества мяса или овощей будет меняться функция полезности чая, молока, соков и прочих благ, способных удовлетворять чувство жажды.

Современная теория спроса экономикс, - основанная на понимании, что следует рассматривать не отдельные товары, а их множество, - конечно, является более адекватной в сравнении с примитивной теорией спроса Маршалла, когда полезность и спрос на отдельный товар рассматривается в отрыве от всех прочих потребностей. Теория спроса Маршалла была по сути шагом назад даже в сравнении с простейшими законами Госсена. Но все же в этой современной теории принимается, что у каждого отдельного блага есть своя функция полезности, которая никак не зависит от количества прочих благ. Но это не так, а поэтому и строить кривые безразличия так, как это делает Хикс, не совсем правильно.

И единственный подход, которые может адекватно отобразить изменение потребностей в различных благах, состоит в том, чтобы вовсе отказаться от представления, что у каждого блага есть своя определенная функция полезности. Ведь функция полезости для каждого блага является зависимой не только от количества данного блага, но и от количества всех прочих благ. И тогда функция общей полезности U и предельной полезности MU для каждого блага становится зависимой от множества переменных, а именно от количества всех прочих благ, то есть U1 одного товара есть функция U1=U1(x1, x2,..., xn), общая полезность второго товара U2=U2(x1, x2,..., xn) и так далее. Но вместо того, чтобы рассматривать множество функций Un, зависимых от n переменных, проще будет рассматривать одну функцию общей полезности всех товаров U=U(x1, x2,..., xn). И тогда нам уже не нужны будут функции полезностей для каждого отдельного товара, но при этом мы все же сможем получить для каждого товара функцию предельной полезности, которая будет определяться как частная производная функции U по количеству данного товара. А задача максимализации общей полезности при обмене на какой-то ресурс будет решаться как равенство частных прозводных функции U по всем своим аргументам: dU/dx1=dU/x2=...=dU/xn.

При этом, конечно, определенная таким образом функция общей полезности уже будет отличаться от той функции, которую рассматривал Хикс и через которую он строил кривые безразличия. У Хикса эта функция общей полезности имела вид: U=U1(x1)+U2(x2)+...+Un(xn), а поэтому частная производная по любому аргументу (количеству блага) была равна производной функции общей полезности этого блага: dU/dxn=dUn/dxn, и функции предельной полезности для каждого блага становились функциями количества только этого блага. В нашем же варианте любая частная производная по количеству какого-то блага, которую можно трактовать как функцию предельной полезности этого блага, будет зависеть не только от количества данного блага, но и от количества всех прочих благ.   
runo_lj: (Default)
Итак, первым шагом мы определили условие оптимального выбора набора благ при имеющемся ресурсе. Второй закон Госсена, где таким ресурсом выступает время, дает возможность сформулировать это условие в "чистом виде", увидеть критерий выбора во всей его ясности. Однако вторым нашим шагом будет не переход к деньгам и ценам, а попытка осмыслить экономическое содержание этого закона - ведь по сути, как мы отметили выше, этот закон есть решение тривиальной математической задачки по оптимизации ресурса, и важно понять, какое экономическое содержание стоит за этим математическим решением. Все, что было сказано экономистами по поводу спроса после Госсена, и было такой попыткой - хотя, нужно признать, что осмысление содержания закона Госсена и его следствий далось экономическим теоретикам с большим трудом и скрипом, и со времен Госсена экономическая теория продвинулась очень мало.

Прежде всего, отметим, что условие равенства предельных полезностей означает, что нас, вообще говоря, мало интересует, как в точности проходит функция полезности для каждого отдельного блага. Какова полезность первых единиц, или при каком количестве достигается насыщение потребности данным благом, или как различные блага влияют на изменение полезностей друг друга - все эти вопросы остаются за скобками. Нам лишь важно, чтобы предельные полезности всех благ были одинаковыми. А для этого нужно лишь предположить, что человек способен определять полезность блага в терминах "больше-меньше" или "равно". И если предельная полезность любого блага убывает, то как именно проходит эта функция, уже не имеет совершенно никакого значения. Субъект не оперирует всеми функциями полезности для всех благ на всем участке опредения этих функций, и человек не держит в голове удовольствие, получаемое от первых единиц, или количество блага, требуемое для полного насыщения потребности - он лишь сравнивает полезности отдельных единиц блага, которые служат предельными единицами и которые и определяют выбор субъекта. Не такое уж и серьезное требование к субъекту, согласитесь. И определить, что чего-то стало слишком мало, а чего-то стало много, и что неплохо бы отказаться от того, чего много, с тем, чтобы купить того, чего не хватает - не такая уж сложная хозяйственная задача, с ней любая домохозяйка успешно справляется. Но "много" или "мало" здесь и определяется условием равенства предельных полезностей благ.

При этом также совершенно не важно, являются блага дополнителями или заместителями. Субъект выберет такой набор из чая и кофе, при котором предельная полезность кофе будет равна предельной полезности чая, и он выберет столько сахара и чая, что предельная полезность сахара будет равна предельной полезности данного количества чая. Для потребителя все потребности предстают в виде одной потребности, потребности как таковой, и все качественно различные товары, удовлетворяющие эти потребности, предстают как виды одной и той же полезности, которая качественно одинакова для всех благ и меняется лишь количественно.

Это, кстати, дает ответ на вопрос, который мы в свое время, приступая к теории спроса, адресовали Маршаллу: ведь у Маршалла получалось, что ни одна потребность ни в одном товаре не может быть удовлетворена полностью, и почему это так, теория спроса Маршалла объяснить не могла. Но если рассматривать все товары как носители одной и той же качественно однородной полезности, то ответ на наш вопрос мы получаем. В самом деле, ведь потребности в чае и кофе или в мясе и в хлебе по-отдельности не существует. Есть потребность в питье и в еде. И поэтому для удовлетворения жажды человеку совсем не обязательно употреблять только чай - он может приобретать и кофе, и другие напитки. И если он в принципе употребляет кофе - то есть если кофе имеет для него какую-то полезность, то он, исходя из закона Госсена, выберет какое-то количество чая и какое-то количество кофе, и при этом, вполне возможно - если у него хватит ресурса, который он обменивает на блага (то есть денег или времени) - он сможет полностью удовлетворить свою потребность в питье с помощью чая и кофе. То есть потребность в питье может быть полностью удовлетворена - хотя при этом предельная полезность кофе и чая будет, конечно, отлична от нуля. В этом случае полезность, доставляемая кофе, просто компенисирует ту полезность, которая остается у чая до точки насыщения, и с помощью кофе потребитель полностью компенсирует ту полезность чая, которой ему недостает до полного насыщения чаем.

Точно так же потребность в еде невозможно свести  только к потребности в мясе или хлебе, и субъект, выбирая какое-то количество мяса и хлеба, как раз и стремится максмилизировать уровень удовлетворения своей потребности в еде. И хотя даже для богача предельная полезность мяса, хлеба и прочих продуктов никогда не равна нулю, это вовсе не значит, что богач недоедает или голодает - его потребность в пище полностью удовлетворена, просто условие оптимизации расходов и максимализации полезности требует, чтобы богач питался не одним хлебом или рябчиками, а чтобы все это он потреблял в равномерно распределенном количестве, и тогда полезность всех употребляемых продуктов и будет составлять уровень удовлетворения в питании - и вполне возможно, что этот уровень будет уровнем полного насыщения потребности в еде (или даже "переедания").

Но ведь что такое равенство предельных полезностей всех благ? По сути ведь речь идет о том, что уровень потребностей во всех благах должен быть одинаковым - с той целью, чтобы при ограниченности обмениваемого ресурса наиболее полно удовлетворить все свои потребности. Поэтому, в принципе, мы можем вообще исключить из экономического словаря понятие полезности, и всюду говорить о потребностях и об удовлетворении этих потребностей различными благами. Понятие "полезности" слишком неопределенно, в то время как понятие "потребности" имеет ясный экономический смысл, и понятно, что теория спроса есть теория удовлетворения потребностей в условиях ограниченности ресурса, а вовсе не теория каких-то "полезностей" различных вещей - как будто речь идет о свойствах вещей, а не о потребностях человека. Более подробно соотношение этих понятий мы уже рассматривали, повторю только, что полезность и есть всего лишь объективное свойство вещей удовлетворять субъективные человеческие потребности.

При этом, как полезности различных благ мы можем рассматривать как виды одной общей и однородной полезности, так и различные виды потребностей, конечно, мы можем рассматривать как виды одной общей однородной потребности, "потребности как таковой". И строго говоря, такая потребность уже будет неограниченной - ограниченными остаются отдельные потребности, но по мере их удовлетворения могут появиться новые потребности, которые ранее были недоступны в силу ограниченности обмениваемого ресурса. И тогда изобретение новых товаров с новыми полезностями, конечно, нужно рассматривать как изобретение новых видов потребностей, и весь капиталистический способ производства во многом и сводится к изобретению со стороны производителей новых потребностей и стремлению навязать людям мнение, что эти потребности являются важными и необходимыми. А это уже существенно влияет и на другие сферы человеческой деятельности - социологию, быт, научно-техническое развитие, культуру, политику. Впрочем, все эти вопросы уже не входят в сферу сугубо экономическую, а потому о них мы здесь размышлять не будем.      
runo_lj: (Default)
Что ж, попробуем зайти к теории спроса с такой стороны. Спрос по сути есть обмен какого-то ресурса, имеющегося в ограниченном количестве, на определенные количества различных товаров (таким ресурсом выступают деньги). При этом условие задачи спроса предполагает, что обмениваться может не только данный ресурс, но и сами приобретаемые товары - ведь отказываясь от приобретения какого-то количества одного товара, мы тем самым получаем воможность затратить наш ресурс на приобретение большего количества другого товара. Таким образом, спрос можно рассматривать как задачу перекрестного выбора-обмена, когда совершается обмен между данным ресурсом и - посредством этого ресурса - имеющимися товарами. Кроме того, задача предполагает в качестве своего условия, что, во-первых, ресурс ограничен в количестве, во-вторых, он обменивается на товары весь, и, в-третьих, что этот ресурс однородный - то есть любая единица этого ресурса ничем не отличается от другой его единицы.

И вот при таких условиях потребитель попадает в ситуацию, когда перед ним лежит множество благ и ему теперь необходимо сделать выбор - то есть получить в обмен своего ресурса какие-то блага в каких-то количествах. Брать что попало и в неограниченных количествах он не может  - потому что он получает блага не просто так, а только в обмен на свой ресурс. И поэтому перед ним возникает задача по оптимизации своего выбора - он может выбрать только какие-то отдельные блага и только в определенных количествах, так как его ресурс ограничен. Это и есть задача определения спроса.

В сущности, это обычная математическая задачка по оптимизации функции, то есть получения максимального значения функции, зависимой от нескольких аргументов, которые в свою очередь меняются в зависимости от значения одного общего аргумента. И если мы принимаем, что функции возрастающие и имеют убывающую гладкую непрерывную первую производную (то есть возрастающую с увеличением количества товара общую полезность и убывающую предельную полезность), то такая задача имеет вполне определенное решение: выбор потребителя будет сделан таким образом, чтобы предельные полезности всех товаров были равны: MU(x1)=MU(x2)=...=MU(xn) 

Математические методы решения таких задач по оптимизации существуют разные, но часто используется метод Лагранжа, когда выстраивается специальная функция оптимизации. Задачи такие появляются, конечно, не только в экономике, а всюду, где необходимо решить задачу оптимизации по какому-то  одному ресурсу или общему аргументу - ну, скажем, необходимо рассчитать оптимальную траекторию движения, которая зависит от координат в трехмерном пространстве, которые в свою очередь зависят от времени и скорости движения - ведь такая траектория будет оптимальной с энергетической точки зрения, и именно по такой траектории будут двигаться частицы в вакууме. (Кстати, обратите внимание в описании метода Лагранжа по ссылке на пример с тропинкой в горах. Вам ничего этот "рисунок местности" не напоминает? Да, именно так: задача нахождения самой высокой точки на тропинке в горах математически ничем не отличается от задачи поиска наибольшей общей полезности двух товаров -  линии одинакого уровня высоты соответствуют кривым безразличия, а функция, задающая тропинку, соответствует бюджетной линии. И еще обратите также внимание, насколько этот рисунок местности с тропинкой и вершиной в горах похож на расходящиеся эллипсы c точкой насыщения - то есть мы были абсолютно правы, когда утверждали, что кривые безразличия - если предельные полезности являются линейными фунциями - следует рассматривать как дуги эллипсов с общим центром в точке насыщения, а сам метод построения теории спроса по кривым безразличия есть обычная задача оптимизации канонических функций).

Почему это будет именно так, то есть почему обмен состоится именно в таком соотношении товаров, что их предельные полезности будут равны, можно показать с помощью следующего простейшего примера. Допустим Маша принесла в школу яблоки и груши, а у Пети имеются цветные фантики, которые он теперь хочет обменять на яблоки и груши. Предположим, что Петя обменял фантики на 5 груш и 3 яблока, при этом обмен происходит по цене 1 яблоко=1 фантик и 1 груша=1 фантик, и в результате обмена предельная полезность 5 груш для него оказалась меньше, чем предельная полезность 3 яблок. В таком случае, отказавшись от одной груши, он сможет высвободить один фантик и обменять его на одно дополнительное яблоко. И так как предельная полезность 5 груш для него меньше, чем трех яблок, то, отказавшись от груши для получения дополнительного яблока, он тем самым получит более выгодную для себя ситуацию - ведь он отказывается от меньшей полезности груши и получает большую полезность дополнительного яблока. То есть при любой ситуации, когда предельные полезности яблок и груш не равны, имеется возможность улучшить ситуацию с точки зрения максимализации полезности яблок и груш, и наиболее выгодным обменом для Пети будет тот, когда предельные полезности яблок и груш для него будут равны.

Здесь, правда, очень важным условием является равенство "цены" яблок и груш, то есть условие, что для Маши полезность яблок и груш одинаковая и она не меняется от количества оставшихся у нее яблок и груш, и вторым условием является равенство полезности фантиков для Маши, то есть условие, что полезность фантиков для Маши не меняется в зависимости от их количества. То есть условием решения задачи оптимизации для Пети в приведенном примере является равенство цены яблок и груш: Маша обменивает яблоки и груши всегда за один фантик. 

Все это далеко не ново, и что оптимальный обмен произойдет именно при равенстве предельных полезностей благ, сформулировал еще немецкий экономист Госсен. Правда, Госсен в качестве обмениваемого на блага ресурса рассматривал не фантики и не деньги, а время, и второй закон Госсен гласил: "Индивид, обладающий свободой выбора между некоторым числом разных видов потребления, но не имеющий достаточно времени использовать все их сполна, в целях достижения максимума своего наслаждения, как бы различна ни была абсолютная величина отдельных наслаждений, должен, прежде чем использовать полностью наибольшее из них, использовать все их частично, и притом в таком соотношении, чтобы размер каждого наслаждения в момент прекращения его использования у всех видов потребления оставался равным."  Ну, и как отмечается в учебнике по экономикс: "Современным языком этот закон можно сформулировать следующим образом: чтобы получить максимум полезности от потребления заданного набора благ за ограниченный период времени, нужно каждое из них потребить в таких количествах, при которых предельная полезность всех потребляемых благ будет равна одной и той же величине. Если такого равенства нет, то за счет перераспределения времени, выделенного на потребление отдельных благ, можно увеличить общую полезность". (Учебник по ссылке, кстати, очень хороший - лучше я не видел).

Нетрудно понять, что время в данном случае является идеальным ресурсом обмена для первого шага в теории спроса, так как оно отвечает всем поставленным выше условиям: оно однородно и каждая единица времени равна любой другой, этот ресурс может быть задан как ограниченное количество, а "цена" обмена для всех благ здесь одинакова, так как блага здесь вообще никто не продает, а они просто обмениваются на время. То есть такая модель позволяет не только исключить фактор стоимости денег, но и фактор цены - и именно поэтому определение "спроса Госсена" является идеальной моделью для понимания первой фундаментальной закономерности обмена какого-то ресурса на блага.

А вот дальше нам необходимо сделать второй, третий и последующие шаги, то есть определить спрос, уже принимая во внимание стоимость денег и различие в ценах.     
runo_lj: (Default)
Таким образом, в случае, если благо может удовлетворять несколько потребностей, эти потребности при определенных условиях - когда удовлетворена наиболее насущная потребность и когда блага много и оно дешево - эти новые потребности могут появиться. И предельная полезность третьего мешка зерна, который полностью уловлетворял потребность в пище, уже не будет равна нулю, так как само количество блага, требуемого для покрытия всех потребностей в нем, увеличится. А следовательно, и граница насыщения потребностей данным благом отодвинется.

Но вполне возможны и другие случаи - когда одна и та же потребность удовлетворяется несколькими благами (такие блага или товары называют заместителями). Скажем, потребность в питье может быть удовлетворена разными напитками - чаем, кофе, соками, молоком, обычной водой, наконец. Как здесь можно точно определить потребность в чае или кофе, если возможно использование и того и другого? 30 фунтов чая, полностью удовлетворяющих потребность в чае, о которых пишет Маршалл - это какие фунты чая: если употребляется только чай, или если чай используется вместе с кофе? Но если некий потребитель использует только чай, то количество потребности в чае у него одно, а если он пьет еще иногда и кофе - тогда и потребность в чае уменьшится. В теории спроса экономикс предполагается, что  у чая и кофе есть какие-то свои определенные функции полезности, которые никак не зависят от использования других продуктов, и которые и сравнивается с помощью кривых безразличия. Но насколько справедливо такое представление и насколько оно соответствует реальности?

Возьмем не замещающие блага, а дополнительные. Типичным дополнительным благом является, например, сахар. Как определить функцию полезности сахара вне функции полезности чая или кофе? Если у нас есть только сахар, то его полезность равна нулю - так как никто не ест сахар отдельно ложками, а всегда использует его только с другими продуктами. А значит, без наличия какого-то количества чая или кофе полезность сахара равна нулю, и построить кривую безразличия для чая и сахара уже невозможно. Мы не можем брать все большее количество сахара и все меньшее количество чая для построения кривой безразличия для этих двух товаров, как мы это делали ранее. Сахар всегда идет в дополнение к чаю, и увеличивать количество сахара мы должны одновременно с увеличением количества чая.

Но при этом и функция полезности чая тоже изменится. "Чай без сахара" - это вовсе не одно и то же, что "чай с сахаром". Понятно, что для тех, кто пьет чай с сахаром, полезность чая с сахаром будет гораздо выше, чем чая без сахара. Более того, появление сахара может опять-таки изменить и потребность в чае - ведь такой потребитель вряд ли выпьет много чая без сахара, но с сахаром чай для него становится гораздо привлекательней в качестве напитка, а значит, и потребность в чае с появлением сахара возрастет. 

В общем, представление, что для каждого отдельного блага или товара можно задать определенную функцию полезности, которая никак не меняется и не зависит ни от наличия других товаров, ни от того, сколько стоит данное благо в плане затрат, очевидно, является чрезмерным упрощением. Скажем, cахар или соль могут быть использованы только совместно с другими благами, и в то же время они могут использованы для удовлетворения разных потребностей: соль можно использовать для солений, например, а сахар - для приготовления варенья или домашнего вина. И функция полезности соли или сахара, как и потребность в них, будет сильно зависеть от потребности и полезности других продуктов. Но все то же самое, очевидно, будет правильно в какой-то мере и в отношении других продуктов. Потребность в хлебе будет зависеть от того, сколько человек питается, а само использование хлеба может повлиять на потребность в других продуктах. И считать, что у каждого продукта есть заданная и неизменная функция полезности и потом строить некую кривую безразличия из предположения, что уменьшение количества одного товара ведет к увеличению количества другого при сохранении того же значения общей полезности двух товаров, не всегда вообще возможно. 

Конечно, такая теоретическая модель может быть принята как самое первое и простейшее представление о природе потребительской стоимости, полезности и спроса, но она является чрезмерно сильным упрощением, и вряд ли она позволит нам перейти от самых общих теоретических обобщенных соображений к каким-то более точным и определенным выводам. Применение математического аппарата в экономикс не должно вводить нас в иллюзию - все это делается на основе обычных предаставлений о функции, но пока сама эта функция полезности остается совершенно произвольной и неопределенной, толку от такого применения математического аппарата не много.


И пока мы стоим на почве понятия полезности как некой абсолютной величины, которая, будучи субъективной по своей природе, не может быть определена, вся теория спроса так и останется только лишь сборником математических задач, за которыми не стоит никакой реальности, или же только самое общее и приближенное представление об экономических реалиях. А значит, и сама теореия полезности, которая является фундаментом для всех построений в области теории спроса, требует серьезного пересмотра.     
runo_lj: (Default)
Анализ кривых безразличия привел нас к выводу, что говорить о спросе имеет смысл только в том случае, если имеется несколько товаров, полезности которых между собой сопоставляются. А это вынуждает нас вернуться несколько назад и более критично посмотреть на основание всех наших рассуждений о полезности и потребительской стоимости товара.

Рассуждая о полезности и потребительской стоимости товаров, мы все время рисовали функцию предельной полезности, производную от функции общей полезности. Эта функция выглядела как убывающая от какого-то значения при количестве товара, равном нулю, до нуля при каком-то количестве товара, соответствующему насыщению данной потребности данным товаром. То есть полезность и потребительская стоимость представлялась как некая абсолютная величина, имеющая опереденные значения на заданном участке изменения переменной - участке изменения количества товара от нуля до количества, полностью насыщающего данную потребность.

Но у меня есть серьезные сомнения в том, что полезность и ПС могут быть заданы как абсолютные величины - на мой взгляд, это всегда величины относительные, и все то, что мы ранее говорили относительное теории спроса, свидетельствует именно об этом. Когда Маршалл говорит, что покупатель приобретает 10 фунтов чая по цене 8 шиллингов, так как предельная полезность чая в таком количестве равна полезности 8 шиллингов - Маршалл несет чепуху. Потому что мы не только ничего не можем сказать о полезности 8 шиллингов, но и полезность 10 фунтов чая сама по себе, вне сравнения с полезностью других товаров, определена быть не может. И та, и другая полезность - и ПС чая, и ТС денег - еще только должны быть определены. И определены они могут только как относительные величины.

Как же может быть определена ПС чая? Только через ПС какого-то другого товара. Мы можем сранивать две величины полезности относительно друг друга и сказать, какая из них представляется предпочтительной и более высокой. Но мы не можем сказать, что полезность чая равна какому-то количеству условных единиц полезности в абсолютном измерении. Это величина без полезности другого товара, с которой ее можно сравнить, просто не имеет смысла.

А значит, и рисовать график полезности так, как мы делали это ранее, мы не можем. Мы не можем задать какое-то абсолютное значение величины полезности на участке ее определенности. Все, что мы можем сказать, это то, что предельная полезность товара будет падать с какой-то скоростью по мере увеличения количества товара. Но определить значение полезности при каком-то количестве товара мы можем только как величину относительную - то есть сравнивая эту полезность с полезностью какого-то количества другого товара. Чему равна полезность одного, двух или трех яблок мы можем сказать, только сравнив эти полезности с полезностью одной, двух или трех груш. И полезность яблок всегда должна быть выражена через полезность груш, а полезность груш - через яблоки.

Для задания абсолютной величины ведь необходимо иметь понятие о нулевом значении и о каком-то значении, отличном от нуля - тогда у нас появляется возможность задать шкалу для абсолютного измерения данной величины. Но определить величину полезности какого-то количества чая без сравнения его с полезностью какого-то количества другого продукта, как показывает теория спроса, выстроенная на кривых безразличия, мы не можем. Мы можем задать ПС через сопоставление с ТС, но для теории спроса этого оказалось недостаточно - нам нужна ПС другого товара.

Но и нулевое значение полезности, - определяемое как точка при насыщении потребности, - если подумать, мы тоже однозначно задать не можем. Ведь закон падения предельной полезности гласит, что полезность не просто убывает, а должна при каком-то количестве блага достигнуть нуля - и если мы имеем две точки, два значения полезности - при количестве товара, равном нулю, и при количестве, удовлетворяющим потребность, - мы уже можем задать величину полезности как величину абсолютную. Но с насыщением потребности тоже не все так просто, как кажется. Сошлюсь на пример Бев-Баверка с крестьянином и зерном, который мы уже приводили.

Для того, чтобы себя прокормить, допустим, крестьянину нужно 3 мешка зерна. Какова предельная полезность 3-го мешка? По логике закона предельной полезности, она должна быть равна нулю, так как третий мешок полностью удовлетворяет все потребности крестьянина в зерне в качестве пищи. Но у крестьянина есть и другие потребности, которые он может покрыть с помощью зерна - он может кормить птицу, может завести попугая. И если у крестьянина зерна больше трех мешков, он сможет их использовать в своем хозяйстве для покрытия каких-то менее важных потребностей, нежели собственное прокормление. И тогда полезность 4-го, 5-го и следующих мешков зерна, конечно, будет ниже, чем полезность третьего, но она вовсе не будет равна нулю.

В данном случае, очевидно, мы имеем дело с случаем, когда один и тот же продукт может удовлетворять несколько разных потребностей. Но как тогда в таком случае должна проходить линия предельной полезности? Должны ли мы выстроить все имеющиеся потребности в зерне в некую одну потребность, где каждая отдельная потребность будет соответствовать какому-то участку функции предельной полезности? Это можно было бы легко сделать, если бы полезность четвертого мешка, который употребляется первым при кормлении птицы, была в точности равна или всегда меньше последнего мешка, используемого для питания крестьянина - то есть если бы полезность 4-го мешка была меньше полезности 3-го. Но кто сказал, что крестьянин начнет кормить птицу обязательно при условии полного насыщения своих собственных потребностей в зерне? Вполне возможно, что он удовлетворит часть своих потребностей только двумя мешками, а полезность кормления птицы для него будет выше, чем полезность третьего мешка, если бы он использовался его для собственной пищи.

То есть в случае, если один и тот же продукт удовлетворяет несколько потребностей, мы должны сначала разделить эти потребности - то есть определить отдельно, какова полезность первой единицы для данной потребности и какое количество продукта требуется для полного удовлетворения каждой потребности, а потом сложить вместе эти отдельные полезности. И тогда вполне может оказаться, что при потребности в зерне в качестве пищи в три мешка, крестьянин только два первых мешка полностью использует для своего питания, потом третий начнет кормить птице, а затем, когда полезность кормления птицы будет частично удовлетворена и упадает до уровня неудовлетворенной потребности в собственном питании, он начнет частично использовать зерно для своего питания, а частично - для кормления птицы.

Очевидно, что в данном случае, понятие насыщения потребности будет уже размыто - ведь при наличии нескольких потребностей, которые удовлетворяются зерном, мы уже не можем сказать, что третий мешок полностью удовлетворяет потребность крестьянина в пище - ведь полностью она будет удовлетворена только при использовании 4-го и больше количества зерна, так как, начиная с третьего мешка, зерно частично используется для питания и частично - для кормления птицы. И само понятие потребности в зерне в таком случае при этом увеличивается.

Но хотелось бы отметить, что появление потребности кормления птицы и кормления попугая связано только с частичным удовлетворением наиболее насущной и важной потрбености - собственном питании. А это значит, что при частичном удовлетворении потребности сама потребность может увеличиться, так как для того же самого продукта могут быть найдены другие способы применения. В случае с крестьянином возможность кормить птицу и попугая появляется, когда, во-первых, потребность в пище уже частично или полностью удовлетворена, а, во-вторых, если зерно дешево - причем дешевизна зерна здесь может быть связана только с его незначительной трудовой стоимостью, когда, скажем, крестьянин, приложив обычные трудовые усилия, получил необычайно богатый урожая зерна, которого теперь достаточно не только для собственного питания, но и для того, чтобы завести и прокормить птицу и попугая. 

То есть понятие потребности может меняться в зависимости от того, какое количество продукта имеется в нашем распоряжении или мы можем приобрести. И если этот продукт дешев и его много, то его можно пустить и на удовлетворение менее важных потребностей. И тогда "точка насыщения" для данного продукта может быть отодвинута - то есть количество товара, требуемого для удовлетворения старых и новых потребностей, станет больше. 
runo_lj: (Default)
Ну что ж, все очень ясно, понятно, стройно и логично. В рамках анализа кривых безразличия экономический феномен товаров Гиффена становится только частным случаем более общего подхода, и при этом для объяснения этого феномена не приходится прибегать к каким-то дополнительным допущениям и построениям - все зависит от положения кривых безразличия (то есть от субъективной полезности товаров для данного потребителя), соотношения цен и уровня доходов. А это признак качественной теории - если разнообразные и даже противоположные явления можно объяснить в рамках одного подохода, когда характер явления зависит исключительно от количественного соотношения все тех же величин, то, как правило, это означает, что теоретическая модель очень близка к природе самого явления.


Должен сказать, что теория спроса, построенная на анализе кривых безразличия, когда спрос понимается как оценка полезности различных товаров, выступающих одновременно и в качестве заместителей, и в качестве дополнителей друг к другу, мне лично вообще представляется весьма здравой и близкой к реальности. То, что рисовал и писал Маршалл по поводу спроса, вызывает слишком много вопросов и имеет слишком много произвольных и ничем не обоснованных допущений. Поэтому эта теория и вызвала у меня столько критических выпадов и нареканий. Проблема здесь, очевидно, состоит в том, что понятие спроса на какой-то один товар (Маршалл рисовал спрос чай) вообще смысла не имеет - особенно если при этом не принимается во внимание доход потребителя. Мы ранее также попытались выстроить кривую спроса на один товар для покупателя с заданным доходом, и тут же пришли к выводу, что сделать это невозможно: оказалось, что мы не можем сказать, как именно покупатель будет тратить деньги и по каким ценам он купит то или иное количество товара. В самом деле, ведь при условии, что покупатель тратит на товар все свои деньги, весь свой доход, то он и будет его тратить весь, независимо от цены на товар. И тогда понятие спроса как некоего выбора потребителя, стремящегося к рациональному использованию денег, просто теряет смысл.

А это значит, что понятие спроса имеет смысл только при наличии у покупателя какой-то альтернативы, когда он может решать, как лучше затратить деньги - то есть когда существует несколько потребностей и несколько товаров, удовлетворяющих эти потребности. Только тогда понятие спроса - как бы мы его ни понимали: как стремление к максимализации полезности или стремление к денежной выгоде при потреблении - приобретает смысл. То есть анализ кривых спроса нужно рассматривать не просто как "одну из" возможных теорий спроса, а как единственно возможную, так как этот анализ и строится из принятого сразу условия, что речь идет не о спросе на какой-то один товар, а на несколько товаров (двух и более). Иначе, без этого условия, теория спроса вовсе не имеет смысла - задача определения спроса на один товар не решаема или не имеет однозначного решения. Конечно, само построение кривых безразличия и бюджетной линии и весь основанный на этих построениях дальнейший анализ имеет чисто математиматическое содержание, но то, что такой анализ становится экономически осмысленным только при соблюдении указанного условия, означает, что здесь проявляется какая-то важная экономическая закономерность.


Закономерность эту мы определили уже в самом начале, еще при формулировании нашей теории стоимости: понятие стоимости никогда не имеет абсолютного содержания, оно всегда возникает и существует только как относительное понятие и относительная величина. Именно поэтому для нас столь существенным является положение о наличии двух различных по своей природе стоимостей  - потребительской и трудовой. Правда, когда мы попытались выстроить свою теорию спроса на соотношении этих двух стоимостей (где деньги выступают носителями трудовой стоимости, а покупаемый товар - потребительской), мы пришли в тупик: оказалось, что для теории спроса соотношение этих двух стоимостей само по себе еще недостаточно, и требуется не только сравнение ПС товара с ТС денег, но и какая-то другая величина ПС, то есть два и более товара - без этого условия теория спроса невозможна.


А отсюда возникает другой, еще более принципиальный и фундаментальный вопрос: мы все время предполагаем, что ПС товара, основанная на его полезности, имеет какие-то абсолютные величины, но насколько такое представление обоснованно? Строго говоря, понятие полезности, на основе которого и строится теория спроса - в том числе и с помощью кривых безразличия - вообще является величиной сомнительной: ведь измерить субъективную полезность, удовольствие или пользу от какого-то продукта и в каком-то его количестве, в принципе невозможно. И поэтому и вся экономическая теория, основанная на предположении, что субъективная стоимость все время каким-то образом измеряется, оказывается построенной на очень зыбком фундаменте. Нельзя сказать, что экономисты этого совсем не понимали, но как-то иначе здесь мыслить невозможно, ибо совершенно ясно, что само понятие стоимости (как ПС, так и ТС) есть величина субъективная, а значит, от субъективных величин, в принципе не поддающихся абсолютному измерению, здесь никуда не деться.

Но почему мы должны так настойчиво держаться мнения, что существуют какие-то субъективные величины, которые можно измерять в каких-то абсолютных единицах субъективной стоимости? Да, конечно, понятие стоимости - субъективно по своей природе и происхождению, но оно при этом всегда существует только как величина, сопоставляемая с другими стоимостями. А значит, мы вполне можем (и даже должны!) избавиться от каких-то представлений о существовании абсолютной стоимости и всегда понимать и задавать стоимость как понятие и величину относительную. А для этого нам нужно лишь всегда иметь некий образец стоимости, который мы можем принять за единицу стоимости, или же просто сравнивать две стоимости. В самом деле, ведь когда мы рассматривали процесс производства в замкнутом хозяйстве, нам было абсолютно неважно, какова именно абсолютная величина ПС и ТС горшков - все, что нас интересовало, это характер изменения этих величин относительно друг друга. Точно так же в теории спроса мы столкнулись с фактом, что сама такая теория возможна лишь при сопоставлении полезностей (ПС) двух и более товаров. То есть ПС товара может быть определена только через ПС другого товара, только как величина относительная, когда ПС (полезности) двух товаров сопоставляются в зависимости от их количеств, цен и бюджета.     
runo_lj: (Default)
Сначала посмотрим, как можно объяснить феномен товаров Гиффена с помощью кривых безразличия. Для этого необходимо рассматривать эффект от изменения цен на товары как два разных процесса - процесс замещения подешевевшим товаром других товаров (эффект замещения) и процесс увеличения спроса на товары в связи с изменением цен, которое можно рассматривать как изменение реального дохода потребителя (эффект дохода).

Ничего придумывать мы не будем, такое разделение на эффект замещения и эффект дохода было предложено Слуцким и Хиксом давно, и сегодня считается в экономикс общепризнанной моделью спроса.

Гиффен_2

На рисунке показано, как эффект замещения и эффект дохода графически изображаются с помощью кривых безразличия и бюджетных линий. Изменение цены на товар x (уменьшение цены) приводит к изменению наклона бюджетной линии  - вместо линии AB мы получаем линию AB1. Далее проводится еще одна бюджетная линия, параллельная новой, которая позволяет определить, какое влияние на увеличение спроса на товар x оказал эффект дохода, а какое - эффект замещения.   


В данном случае падение цены на товар x привело к увеличение спроса на этот товар, а также к уменьшению спроса на товар y - точка нового спроса E1 лежит правее, но ниже, чем точка старого спроса E0. То есть эффект замещения для товара y оказался выше, чем эффект дохода. Но это не всегда обязательно так. 

Гиффен

Здесь падение цены на товар x привело к тому, что спрос на товар x несколько увеличился, но и на товар y спрос также возрос. То есть эффект дохода от падения цены на товар x оказался настолько большим, а полезность этого товара относительно низкой в сравнение со вторым товаром, что для потребителя для максимализации полезности от обоих товаров оказалось выгоднее также увеличить потребление второго товара у.

Но вполне возможна и третья ситуация, когда при уменьшении цены на товар x спрос на него падает, а спрос на второй товар растет:

Гиффен_3
 
В данном случае товар x и будет выступать в качестве низшего товара, или товара Гиффена.

Нетрудно понять, что характер изменения спроса на два эти товара будет зависеть от трех факторов:

1. Соотношения полезностей товаров, которое определяет положение кривых безразличия.
2. Соотношения цен, которое определяет наклон бюджетной линии и, следовательно, точки касания бюджетных линий к кривым безразличия. 
3. Дохода потребителя, который будет определять высоту бюджетной линии.

Для отображения этой зависимости строятся кривые потребления-дохода, когда соотношение цен (наклон бюджетной линии) принимается заданным, потом определяются точки касания бюджетной линии с кривыми безразличия, а затем эти точки соединяются вместе. Если в итоге мы получим выпуклую вверх функцию - значит товар x выступает товаром более "высокого качества" в отношении товара y. Если функция будет выпуклой вниз - значит, напротив, товар y будет выступать более "качественным" товаром по отношению к товару x, и по мере падения цен на товар x он будет все более его замещать. Если же при этом полученная функция начнет загибаться к оси y, тогда товар x станет товаром Гиффена по отношению к товару у: при определенных ценовых соотношениях падение цены на товар x приведет к уменьшению спроса на него, а при росте его цены, спрос на него, напротив, будет возрастать.  
 
runo_lj: (Default)
Товары Гиффена (2)
Товары Гиффена (3)

Но все это математика, а не экономика. Кривые безразличия дают хороший математический инструмент для изучения некоторых взаимосвязей экономических величин, но на вопросы экономики математика сама ответить не сможет. У нас есть некие функции полезности, потом мы строим кривые для различной величины полезности. Затем мы проводим бюджетную линию, весь смысл которой состоит в том, что она показывает, в каких количествах можно купить товары при заданном доходе и заданных целях. И решение максимализации полезности превращается в банальную математическую задачу.

Но в экономике наблюдались ситуации, которые плохо укаладываются в эти математические построения - я имею в виду товары Гиффена. Спрос на такие товары при росте цен на них не уменьшается, а возрастает, а при падении цены, напротив, уменьшается. И мне бы хотелось внимательно посмотреть, в чем суть этого явления - возможно, тогда мы найдем ответы и на некоторые другие вопросы. Такого рода "ненормальные ситуации" для теории часто имеют особое значение, так как они позволяют выявить какие-то ошибки или недочеты в ранее существовавших представлениях. Скажем, для сторонников трудовой теории стоимости товары, не имеющие трудовой стоимости (земля, картины), всегда были каким-то досадным "исключением" - но оказалось, что проблема не в этих товарах, а в ошибочности самой трудовой теории стоимости. Возможно, и случай с товарами Гиффена позволит нам взглянуть на проблему спроса и полезности с какой-то новой стороны.

Что происходит в случае с товарами Гиффена, в общем-то, понятно. При падении цены на них они замещаются другими, нормальными, товарами, более высокого качества. А при росте цены потребители вынуждены отказываться от более дорогих и качественных товаров и переходить к большему потреблению этих товаров. Это было понятно даже Маршаллу, но толком объяснить, что и как здесь происходит, он в рамках своей теории не мог. Подход с использованием кривых безразличия, где эффект от изменения цены можно разложить на эффект дохода и эффект замещения, уже позволяет более ясно понимать это явление. Но все же и он в полной мере его не объясняет (в дальнейшем мы посмотрим, как это делает Хикс). 

Но сначала сформулируем условия задачи  - ведь от того, насколько мы ясно понимаем условия поставленной задачи, часто зависит и то, как мы ее разрешим.

1. Ситуация с товарами Гиффена уже отличается от простого построения кривых безразличия. Здесь уже речь идет об изменении самой ситуации  - когда меняются цены или доход потребителя. То есть сама задача уже не сводится к максимализации полезности при одних условиях - меняются сами условия. Поэтому и задача максимализации уже  принимает несколько иной вид.

2. Товары Гиффена входят в категорию "низших товаров". Помимо них, различают еще "нормальные товары". Но определение первых и вторых дается в экономикс только по указанному выше проявлению зависимости спроса от цены. Чем именно по своей природе низшие товары отличаются от нормальных, и где и почему проходит граница между ними - качественная или количественная  - остается непонятным.

3. Товарами Гиффена обычно являются дешевые товары, которые потребляются широкими массами бедного населения. То есть проявление указанного их свойства связано с низким доходом. Поэтому нужно уточнить, что такое низкий доход - ведь вполне может оказаться, что подобными свойствами обладают и нормальные товары, но для богатых людей.


Вот таковы основные особенности этой задачи, которые необходимо отметить.     
runo_lj: (Default)
Надо сказать, у меня есть серьезные подозрения, что кривые безразличия есть просто дуги эллипсов с центром в точке насыщения (то есть с центром в верхнем правом углу нашего квадрата, где количество мяса равно 60 фунтам, а количество чая равно 30 фунтам). По крайней мере, если линии предельной полезности являются линейными функциями, как в нашем примере, это действительно так. Не хочется переходить от экономики к математике, но это можно легко показать. Так что, извините, дальше немного простейшей математики.

Линейная функция для наших линий предельной полезности задается как MU(q)=-aq+b. Для мяса у нас предельная полезность первой единицы равна 20 единцам полезности, а количество мяса равно 60, поэтому для мяса MU(qm)= -20/60qm+20, то есть am=1/3, а bm=20. У чая полезность первой единицы равна 15, а количество чая при насыщении равно 30 фунтам, поэтому функция предельной полезности для чая имеет вид MU(qt)=-15/30qt+15, то есть at=1/2, а bt=15.


Общая полезность, которая равна площади под линией предельной полезности, получается как интегральная функция от функции предельной полезности (ведь предельная полезность и есть производная функция от функции общей полезности). Интегральная функция общей полезности U(q) от MU(q) будет иметь вид: U(q)=-aq^2/2+bq+c, где q^2 - квадрат от q, а с - константа. Поскольку общая полезность при q=0 равна нулю, константа с будет также равна нулю.

Таким образом мы имеем две функции общей полезности - для мяса и для чая:

U(qm)=a(m)q(m)^2/2+b(m)q(m)
U(qt)=a(t)q(t)^2/2+b(t)q(t)

Кривая безразличия строится как равенство суммарной общей полезности двух товаров, то есть U(qm)+U(qt)=C. Обозначим количество мяса qm за y, количество чая qt за x, и перейдем в систему координат (xy), в которой кривая безразличия будет задаваться функцией:

a(t)x^2/2+a(m)y^2/2+b(t)x+b(m)y=C.

Теперь переместим систему координат (xy) в точку насыщения, то есть сдвинем систему координат (xy) вправо на величину чая 30 и вверх на величину мяса 60. Для этого нам нужно заменить x на X, а y на Y:

X=x+b(t)/a(t)
Y=y+b(m)/a(m)

После алгебраичесикх преобразований получим:

a(t)X^2+a(m)Y^2=b(t)^2/a(t)+b(m)^2/a(m)-2C

Разделим обе части уравнения на произвдение a(t)a(m):

X^2/a(m)+Y2/a(t)=(b(t)/a(t))^2+(b(m)/a(m))^2-2C/a(t)a(m).

А это обычный эллипс. Если мы разделим обе части уравнения на правую часть, мы придем к уравнению вида:

X^2/A^2+Y^2/B^2=1, где А и B - полуоси эллипса, при этом значения A и B легко получаются из формулы выше. То есть картинка кривых безразличия, которую мы нарисовали раньше, вполне соответствует действительности - в наш квадрат попали дуги эллипсов с центром в точке насыщения и переменной С, которая и определяет полуоси эллипса - то есть расстояние от центра эллипса до точки максимального удаления по осям. 
 
Углы-5

Трудно сказать, что будут представлять собой кривые безразличия, если функция общей полезности товаров не параболическая, а функция предельной полезности - не линейная. Но и нашего примера достаточно, чтобы понять, что из себя в целом представляют кривые безразличия - ясно, что это линии какой-то канонической функции с центром в точке насыщения, и по мере уменьшения С (то есть общей полезности), эти линии будут все более удаляться от точки насыщения, причем, конечно, параллельными они не будут (я не понимаю, с какого потолка Хикс и экономикс взяли, что кривые безразличия параллельны).

Но если это так, то при значении количеств товаров, при которых будет достигаться  полное удовлетворение потребностей, будут иметь горизонтальную или вертикальную касательную. А значит, бюджетную линию в этих точках не построить.
runo_lj: (Default)
А вообще, вы знаете...по поводу этой "параллельности" кривых безразличия  - все не так просто. Возьмем самый чистый случай параллельных кривых - двух окружностей с одним центром. Я не буду прибегать к алгебраическим формулам, а приведу геометрическое доказательство, что длина вертикального отрезка между этими окружностями будем меняться.

Круг
У нас есть две окружности с центром в точке O. Расстояние от центра до любой точки круга одинаковое (по определению), поэтому длина трезка OA1 будет равна длине отрезка OB1, а длина отрезка OA2 будет равна длине отрезка OB2. Отсюда длина отрезка A1A2 равна длине отрезка B1B2. Теперь проведем окружность с центром в точке B1 с радиусом B1B2. Очевидно, что при этом длина отрезка B1C будет меньше длины B1B3. Но B1C равен B1B2, а значит равен A1A2, из чего следует, что длина B1B3 больше A1A2.

Несколько сложнее это доказать для эллипса, но алгебраически это довольно просто. То есть для параллельных кривых длина вертикальных отрезков между ними меняется.

А теперь вернемся к кривым безразличия. 

Углы-6
Вопрос в том, что понимать под "параллельностью" этих кривых. Проблема в том, что если они параллельны в том смысле, что кривизна кривых меняется одинаково относительно какого-то центра или фокуса, то отрезки A1A2, С1С2 и B1B2 не будут равны. То есть одно и то же количество мяса будет иметь разную общую полезность, или та же самая общая полезность мяса будет соответствовать разному количеству мяса.

Но ведь мы можем провести не только вертикальные линии, но и горизонтальные - то есть брать одно и то же количество чая при различных количествах мяса. И длина этих отрезков также должна быть равна - чтобы общая полезность чая была одинаковой для одинакового количества чая. Но это условие и само по себе соблюдаться не будет, а уж чтобы оно соблюдалось одновременно с первым условием - даст ист фантастиш. Такого не будет. То есть одно и то же количества мяса или чая будет иметь разную общую полезность. 

Но вообще-то, а чего вы хотели? Здесь опять вступает в силу закон падения полезности:

Кривые_безразличия_6
Если мы возьмем количество мяса A1A2, то, конечно, общая полезность не будет равна общей полезности того же количества мяса, но взятому в отрезке B1B2 - ведь обе вертикальные грани этой фигуры уменьшились. И чем дальше будет двигаться этот отрезок, соответствующий тому же количества мяса, тем меньше будет площадь фигуры, то есть общая полезность. Соответственно, если мы хотим, чтобы общая полезность оставалась той же, длина этого отрезка должна возрастать по мере приближения к точке насыщения, то есть при движении вправо. Поэтому и на графике кривых безразличия отрезок A1A2 будет больше, чем отрезок C1C2, а отрезок C1С2 будет больше B1B2. 

Кажется, так. А это значит, что кривые безразличия параллельными не будут  - по крайней мере, относительно осей. Но тогда в каком смысле они параллельны? В том смысле, что они не пересекаются? Но чтобы кривые не пересекались, они вовсе не обязаны быть параллельными. В том смысле, что они получаются путем сдвига? Но мы только что показали, что это не так. 
runo_lj: (Default)
Увы, увы, и ах. Должен все-таки признать, что кривые безразличия будут параллельными. Это хорошо видно из рисунка ниже:

Углы-6
Одна кривая безразличия пересекает вертикальную ось в точке A1, а горизонтальной оси касается в точке B1 при 30 фунтах чая. Вторая кривая, с более высокой полезностью, касается вертикальной оси под нулевым углом к ней при 60 фунтах мяса, а 30 фунтов чая достигает в точке B1.

При этом отрезок А1A2 должен быть равен отрезку B1B2. В самом деле, ведь разница в совокупной полезности двух товаров между этими кривыми безразличия при количестве чая, равном нулю, равно разнице между общей полезностью мяса, в количестве, равном отрезку OA2, и общей полезностью мяса в количестве OA2. То есть разница должна быть равна полезности количества мяса в количестве А1А2. Но та же самая разница должна сохраниться и при количестве чая в 30 фунтов - то есть при количестве мяса B1B2. А это значит, что количество мяса А1А2 должно быть равно количеству мяса B1B2.

Более того, если мы проведем вертикальную линию где-то между нулевым значением чая и 30 фунтами, которая пересечет эти кривые безразличия в точках C1 и C2, то отрезок C1C2 должен быть равен отрезкам A1A2 и B1B2. Ведь количество чая здесь одно и то же, и поэтому разница в общей полезности должна быть равна полезности все того же количества мяса. То есть расстояние между этими кривыми безразличия по вертикали должно все время оставаться одним и тем же - ведь эта разница есть общая полезность мяса, и одной и той же она может оставаться только при одном и том же количестве мяса.

Но что хуже всего, нижняя кривая безразличия может подходить к вертикальной оси под углом, отличным от нуля, но к горизонтальной линии она подойдет под нулевым углом, а верхняя кривая подойдет к вертикальной оси под нулевым углом (то есть будет переходить  в вертикальную), а при значении чая равно 30 касательная к ней примет нулевой угол по отношению к горизонтальной линии. И понятно, что и все более высокие кривые безразличия будет подходить к верхней грани квадрата под углом 90 градусов (то есть вертикально), а к правой грани квадрата они будут иметь касательную с нулевым углом.

Почему хуже? Потому что из этого следует, что все касательные при количестве мяса 60 фунтов или при количестве чая 30 фунтов будут вертикальными или горизонтальными линиями. А значит, и бюджетная линия сможет касаться кривых безразличия в этих точках, только если она будет вертикальной или горизонтальной линией - то есть ее просто не построить. 

Признаться, я пока не вижу решения нашей загадки. Второй вариант, исходящий из предположения, что стоимость денег меняется и что бюджетная линия не будет прямой, как я отмечал ниже, сейчас мне представляется сомнительной. Почему меняется полезность товаров, это понятно - ведь количество товаров мы можем купить разное, и задача максимализации как раз и сводится к сравнению полезностей различных количеств товаров. Но деньги мы должны затратить все, и при этом не совсем понятно, почему стоимость денег должна меняться в зависимости от того, в каких количествах мы покупаем товары. Если решение и связано как-то с изменением стоимости денег, то оно должно быть как-то ясно обосновано.  

Будем думать. 
 
runo_lj: (Default)
Итак, объяснить нашу "загадку" - каким образом возможно полное удовлетворение какой-либо потребности при цене товара, отличной от нуля - с помощью кривых безразличия мы можем только двумя способами: либо мы должны принять, что стоимость денег меняется в зависимости от того, в каких количествах мы покумаем товары - то есть что бюджетная линия не является прямой; либо же мы должны предположить, что к кривым безразличия можно построить касательную бюджетную линию при количестве одного из товаров, полностью удовлетворяющего потребность.

Рассмотрим второй вариант. При построении кривых безразличия мы использовали чисто математические методы, поэтому, чтобы понять, возможна ли бюджетная линия, касательная к кривой безразличия в точке, где одна из потребностей полностью удовлетворена, нам нужно уточнить математическое содержание кривых безразличия, а потом посмотреть, как это содержание соотнесено с экономическими понятиями.

Предельная полезность товара при количестве, когда он полностью удовлетворяет потребность, должна равнять нулю. Из этого следует, что угол наклона касательной в этой точке должен быть равен нулю (ведь тангенс угла наклона касательной определяется как отношение dy/dx, а это отношение равно MU(x)/MU(y), а MU(x) в этой точке равно нулю). То есть из этого следует, что кривая безразличия должна иметь в этой точке нулевой наклон:

Углы
На этом рисунке кривая безразличия O касается горизонтальной линии при количестве чая в 30 фунтов в точке A - ведь при 30 фунтах чая его предельная полезность равна нулю, а значит, и угол наклона касательной должен быть в этой точке равен нулю. Если исходить из отношения предельных полезностей, то и все другие, более высокие кривые безразличия, при значении x=30 фунтов должны иметь нулевой угол наклона - скажем, более высокая кривая безразличия 1 в точке А1 также должна иметь нулевой угол наклона, то есть переходить в горизонтальную линию.

Аналогичным образом, кривая безразличия при значении y (количество мяса), равном 60 фунтам, должна иметь угол наклона в 90 градусов, то есть превращаться в вертикальную линию. То есть на нашем рисунке кривые безразличия в точках B и B1 должны переходить в вертикальную линию, быть паралелльными вертикальной оси - ведь при количестве мяса в 60 фунтов предельная полезность мяса равно нулю.

Но на нашем рисунке кривая безразличия 0 проходит одновремено через точку A и B. Это означает, что если мы возьмем величину общей полезности 60-ти фунтов мяса и нуля фунтов чая, а потом начнем уменьшать количество мяса и увеличивать количество чая, то в момент, когда количество чая станет 30 фунтам, количество мяса станет равным нулю, то есть количество чая "добежит" до максимального значения в тот момент, когда количество мяса "добежит" до своего минимального значения. Понятно, что такое возможно только в том случае, если общая полезность 30 фунтов чая равна общей полезности 60 фунтов мяса - ведь сумма общей полезности двух товаров при движении по кривой безразличия должна оставаться той же самой. При этом, строго говоря, полезность мяса и чая может меняться на разных участках по-разному  - важно лишь, чтобы их максимальная общая полезность оставалась равной. То есть общая и предельная полезность этих товаров, строго говоря, может меняться по-разному (они вовсе не должны полностью совпадать), важно лишь, чтобы общая полезность мяса при 60 фунтах была равна общей полезности 30 фунтов чая.

Углы_1
Вот пример такого изменения предельной полезности: один из товаров (красный) имеет более высокую полезность первых единиц, но потом полезность этого товара падает быстрее, чем второго (зеленого) товара, и где-то становится ниже, а затем убывание полезности этого товара становится медленнее, чем второго, и в итоге они приходят в точку полного насыщения одновременно. Вполне можно нарисовать такие линии предельной полезности, что общая полезность товаров (то есть площади фигур под линиями их предельной полезности) будет равной (я бы нарисовал, если бы у меня было более приличное графическое приложение). Очевидно, что именно для таких товаров кривые безразличия и будут проходить так, как изображено на первом рисунке.

Однако это условие вовсе не обязательно - то есть общие полезности товаров могут быть разными. Скажем, в нашем примере линия предельной полезности мяса всюду проходит выше линии предельной полезности чая, то есть мясо и чай имеют разные полезности. И в этом случае кривые безразличия для таких товаров, конечно, будут проходить иначе, чем изображено на первом рисунке: кривая безразличия, которая достигает значения 30 фунтов чая при достижении горизонтальной линии, вертикальную линию вовсе не обязательно будет касаться в точке y=60 фунтов мяса, а где-то ниже: 

Углы-3
На этом рисунке зеленая кривая безразличия по-прежнему проходит через точку A, но вот вертикальную линию она пересекает в точке C, где значение количества мяса меньше 60 фунтов.  Теперь построим более высокие кривые безразличия для этих двух товаров - то есть будем брать при количестве чая 30 фунтов какие-то большие количества мяса. Чем более высокую кривую безразличия мы будем брать, тем под более острым уголом эта кривая будет касаться вертикальной линии - ведь предельная полезность чая при количестве ноль будет оставаться той же, а предельная полезность мяса будет уменьшаться:
Углы-4
То есть понятно, что в этом случае кривые безразличия вовсе не будут параллельными линиями - они не будут пересекаться, но расстояние между ними будет меняться, то есть они будут представлять собой пучок расходящихся линий - более плотный при 30 фунтах чая и менее плотный при количестве чая, равном нулю. Наконец, если мы возьмем кривую безразличия, пересекающую вертикальную линию при количестве мяса в 60 фунтов, она должна снова войти в точку B под уголом в 90 градусов, то есть превратиться в вертикальную линию. Если мы возьмем еще более высокие кривые безразличия, то они должны превращаться из горизонтальной линии в вертикульную еще быстрее:

Углы-5

То есть кривые безразличия будут превращаться в дугу эллипсоида, который будет все более вытягиваться вверх и все более сужаться по горизонтали. Только такую форму могут принять кривые безразличия при условии, что предельная полезность чая при 30 фунтах и мяса при 60 фунтах равна нулю, то есть что при этих значениях касательная к ним переходит в горизонтальную и вертикальную линию.

       

Profile

runo_lj: (Default)
runo_lj

August 2012

S M T W T F S
    1 2 3 4
56 78 9 10 11
1213 14 15 161718
19202122232425
262728293031 

Syndicate

RSS Atom

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Sep. 19th, 2017 01:17 pm
Powered by Dreamwidth Studios