Jul. 15th, 2012

runo_lj: (Default)
А вообще, вы знаете...по поводу этой "параллельности" кривых безразличия  - все не так просто. Возьмем самый чистый случай параллельных кривых - двух окружностей с одним центром. Я не буду прибегать к алгебраическим формулам, а приведу геометрическое доказательство, что длина вертикального отрезка между этими окружностями будем меняться.

Круг
У нас есть две окружности с центром в точке O. Расстояние от центра до любой точки круга одинаковое (по определению), поэтому длина трезка OA1 будет равна длине отрезка OB1, а длина отрезка OA2 будет равна длине отрезка OB2. Отсюда длина отрезка A1A2 равна длине отрезка B1B2. Теперь проведем окружность с центром в точке B1 с радиусом B1B2. Очевидно, что при этом длина отрезка B1C будет меньше длины B1B3. Но B1C равен B1B2, а значит равен A1A2, из чего следует, что длина B1B3 больше A1A2.

Несколько сложнее это доказать для эллипса, но алгебраически это довольно просто. То есть для параллельных кривых длина вертикальных отрезков между ними меняется.

А теперь вернемся к кривым безразличия. 

Углы-6
Вопрос в том, что понимать под "параллельностью" этих кривых. Проблема в том, что если они параллельны в том смысле, что кривизна кривых меняется одинаково относительно какого-то центра или фокуса, то отрезки A1A2, С1С2 и B1B2 не будут равны. То есть одно и то же количество мяса будет иметь разную общую полезность, или та же самая общая полезность мяса будет соответствовать разному количеству мяса.

Но ведь мы можем провести не только вертикальные линии, но и горизонтальные - то есть брать одно и то же количество чая при различных количествах мяса. И длина этих отрезков также должна быть равна - чтобы общая полезность чая была одинаковой для одинакового количества чая. Но это условие и само по себе соблюдаться не будет, а уж чтобы оно соблюдалось одновременно с первым условием - даст ист фантастиш. Такого не будет. То есть одно и то же количества мяса или чая будет иметь разную общую полезность. 

Но вообще-то, а чего вы хотели? Здесь опять вступает в силу закон падения полезности:

Кривые_безразличия_6
Если мы возьмем количество мяса A1A2, то, конечно, общая полезность не будет равна общей полезности того же количества мяса, но взятому в отрезке B1B2 - ведь обе вертикальные грани этой фигуры уменьшились. И чем дальше будет двигаться этот отрезок, соответствующий тому же количества мяса, тем меньше будет площадь фигуры, то есть общая полезность. Соответственно, если мы хотим, чтобы общая полезность оставалась той же, длина этого отрезка должна возрастать по мере приближения к точке насыщения, то есть при движении вправо. Поэтому и на графике кривых безразличия отрезок A1A2 будет больше, чем отрезок C1C2, а отрезок C1С2 будет больше B1B2. 

Кажется, так. А это значит, что кривые безразличия параллельными не будут  - по крайней мере, относительно осей. Но тогда в каком смысле они параллельны? В том смысле, что они не пересекаются? Но чтобы кривые не пересекались, они вовсе не обязаны быть параллельными. В том смысле, что они получаются путем сдвига? Но мы только что показали, что это не так. 
runo_lj: (Default)
Надо сказать, у меня есть серьезные подозрения, что кривые безразличия есть просто дуги эллипсов с центром в точке насыщения (то есть с центром в верхнем правом углу нашего квадрата, где количество мяса равно 60 фунтам, а количество чая равно 30 фунтам). По крайней мере, если линии предельной полезности являются линейными функциями, как в нашем примере, это действительно так. Не хочется переходить от экономики к математике, но это можно легко показать. Так что, извините, дальше немного простейшей математики.

Линейная функция для наших линий предельной полезности задается как MU(q)=-aq+b. Для мяса у нас предельная полезность первой единицы равна 20 единцам полезности, а количество мяса равно 60, поэтому для мяса MU(qm)= -20/60qm+20, то есть am=1/3, а bm=20. У чая полезность первой единицы равна 15, а количество чая при насыщении равно 30 фунтам, поэтому функция предельной полезности для чая имеет вид MU(qt)=-15/30qt+15, то есть at=1/2, а bt=15.


Общая полезность, которая равна площади под линией предельной полезности, получается как интегральная функция от функции предельной полезности (ведь предельная полезность и есть производная функция от функции общей полезности). Интегральная функция общей полезности U(q) от MU(q) будет иметь вид: U(q)=-aq^2/2+bq+c, где q^2 - квадрат от q, а с - константа. Поскольку общая полезность при q=0 равна нулю, константа с будет также равна нулю.

Таким образом мы имеем две функции общей полезности - для мяса и для чая:

U(qm)=a(m)q(m)^2/2+b(m)q(m)
U(qt)=a(t)q(t)^2/2+b(t)q(t)

Кривая безразличия строится как равенство суммарной общей полезности двух товаров, то есть U(qm)+U(qt)=C. Обозначим количество мяса qm за y, количество чая qt за x, и перейдем в систему координат (xy), в которой кривая безразличия будет задаваться функцией:

a(t)x^2/2+a(m)y^2/2+b(t)x+b(m)y=C.

Теперь переместим систему координат (xy) в точку насыщения, то есть сдвинем систему координат (xy) вправо на величину чая 30 и вверх на величину мяса 60. Для этого нам нужно заменить x на X, а y на Y:

X=x+b(t)/a(t)
Y=y+b(m)/a(m)

После алгебраичесикх преобразований получим:

a(t)X^2+a(m)Y^2=b(t)^2/a(t)+b(m)^2/a(m)-2C

Разделим обе части уравнения на произвдение a(t)a(m):

X^2/a(m)+Y2/a(t)=(b(t)/a(t))^2+(b(m)/a(m))^2-2C/a(t)a(m).

А это обычный эллипс. Если мы разделим обе части уравнения на правую часть, мы придем к уравнению вида:

X^2/A^2+Y^2/B^2=1, где А и B - полуоси эллипса, при этом значения A и B легко получаются из формулы выше. То есть картинка кривых безразличия, которую мы нарисовали раньше, вполне соответствует действительности - в наш квадрат попали дуги эллипсов с центром в точке насыщения и переменной С, которая и определяет полуоси эллипса - то есть расстояние от центра эллипса до точки максимального удаления по осям. 
 
Углы-5

Трудно сказать, что будут представлять собой кривые безразличия, если функция общей полезности товаров не параболическая, а функция предельной полезности - не линейная. Но и нашего примера достаточно, чтобы понять, что из себя в целом представляют кривые безразличия - ясно, что это линии какой-то канонической функции с центром в точке насыщения, и по мере уменьшения С (то есть общей полезности), эти линии будут все более удаляться от точки насыщения, причем, конечно, параллельными они не будут (я не понимаю, с какого потолка Хикс и экономикс взяли, что кривые безразличия параллельны).

Но если это так, то при значении количеств товаров, при которых будет достигаться  полное удовлетворение потребностей, будут иметь горизонтальную или вертикальную касательную. А значит, бюджетную линию в этих точках не построить.
runo_lj: (Default)
Товары Гиффена (2)
Товары Гиффена (3)

Но все это математика, а не экономика. Кривые безразличия дают хороший математический инструмент для изучения некоторых взаимосвязей экономических величин, но на вопросы экономики математика сама ответить не сможет. У нас есть некие функции полезности, потом мы строим кривые для различной величины полезности. Затем мы проводим бюджетную линию, весь смысл которой состоит в том, что она показывает, в каких количествах можно купить товары при заданном доходе и заданных целях. И решение максимализации полезности превращается в банальную математическую задачу.

Но в экономике наблюдались ситуации, которые плохо укаладываются в эти математические построения - я имею в виду товары Гиффена. Спрос на такие товары при росте цен на них не уменьшается, а возрастает, а при падении цены, напротив, уменьшается. И мне бы хотелось внимательно посмотреть, в чем суть этого явления - возможно, тогда мы найдем ответы и на некоторые другие вопросы. Такого рода "ненормальные ситуации" для теории часто имеют особое значение, так как они позволяют выявить какие-то ошибки или недочеты в ранее существовавших представлениях. Скажем, для сторонников трудовой теории стоимости товары, не имеющие трудовой стоимости (земля, картины), всегда были каким-то досадным "исключением" - но оказалось, что проблема не в этих товарах, а в ошибочности самой трудовой теории стоимости. Возможно, и случай с товарами Гиффена позволит нам взглянуть на проблему спроса и полезности с какой-то новой стороны.

Что происходит в случае с товарами Гиффена, в общем-то, понятно. При падении цены на них они замещаются другими, нормальными, товарами, более высокого качества. А при росте цены потребители вынуждены отказываться от более дорогих и качественных товаров и переходить к большему потреблению этих товаров. Это было понятно даже Маршаллу, но толком объяснить, что и как здесь происходит, он в рамках своей теории не мог. Подход с использованием кривых безразличия, где эффект от изменения цены можно разложить на эффект дохода и эффект замещения, уже позволяет более ясно понимать это явление. Но все же и он в полной мере его не объясняет (в дальнейшем мы посмотрим, как это делает Хикс). 

Но сначала сформулируем условия задачи  - ведь от того, насколько мы ясно понимаем условия поставленной задачи, часто зависит и то, как мы ее разрешим.

1. Ситуация с товарами Гиффена уже отличается от простого построения кривых безразличия. Здесь уже речь идет об изменении самой ситуации  - когда меняются цены или доход потребителя. То есть сама задача уже не сводится к максимализации полезности при одних условиях - меняются сами условия. Поэтому и задача максимализации уже  принимает несколько иной вид.

2. Товары Гиффена входят в категорию "низших товаров". Помимо них, различают еще "нормальные товары". Но определение первых и вторых дается в экономикс только по указанному выше проявлению зависимости спроса от цены. Чем именно по своей природе низшие товары отличаются от нормальных, и где и почему проходит граница между ними - качественная или количественная  - остается непонятным.

3. Товарами Гиффена обычно являются дешевые товары, которые потребляются широкими массами бедного населения. То есть проявление указанного их свойства связано с низким доходом. Поэтому нужно уточнить, что такое низкий доход - ведь вполне может оказаться, что подобными свойствами обладают и нормальные товары, но для богатых людей.


Вот таковы основные особенности этой задачи, которые необходимо отметить.     
Page generated Sep. 19th, 2017 01:26 pm
Powered by Dreamwidth Studios