Jul. 12th, 2012

runo_lj: (Default)
Правило построения кривых безразличия, таким образом, исходит из принципа, что уменьшение общей полезности одного товара, количество которого уменьшается, должно быть компенсировано увеличением общей полезносто второго товара, количество которого должно при этом увеличиваться. Если мы обозначим за U общую полезность товара, то это правило будет иметь вид:

DU(A)+DU(B)=0, где DU - изменение общей полезности. Отсюда DU(A)=-DU(B)  

При этом если изменение количеств товаров бесконечно малое, тогда изменение общей полезности товара можно выразить через предельную полезность этого товара (MU): DU=MU*dx, где dx - бесконечно малое изменение количества товара. И тогда: MU(x)*dx= - MU(y)*dy, где MU - предельные полезности товаров при количестве x и y, а dx и dy - бесконечно малые приращения количеств этих товаров. Отсюда: dx/dy=- MU(y)/MU(x), то есть отношение бесконечно малых приращений товаров равно (со знаком минус) обратному отношению предельных полезностей. Поскольку при увеличение количества одного товара его предельная полезность падает, а при уменьшении количества второго товара его предельная полезность, напротив, возрастает, из этого следует, что кривые безразличия будут выпуклыми вниз кривыми - ведь наклон касательной к кривой безразличия как раз и определяется отношением dx/dy. 

Заметим, однако, что указанное соотношение верно только в случае бесконечно малых приращений количеств товаров. Если же изменение количества x и y бесконечно малым не является, то мы снова должны перейти к интегральным величинам - то есть от предельной полезности перейти к общей полезности. И если функции полезности гладкие и непрерывные, изменение общей полезности товара при изменении его количества всегда может быть выражено как: DU(x)=AU(x)*Dx, где AU - некая средняя полезность товара x на участке изменения его количества, а Dx - приращение количества товара, при этом Dx уже вовсе не является бесконечно малым приращением. И тогда изменение количеств товаров будет обратно пропроционально отношению их средних полезностей на участках измнения: (x2-x1)/(y2-y1)=AU(x2, x1)/AU(y2, y1).


Кривые безразличия интересны еще там, что при таком анализе уже можно вводить понятие бюджета. Если у нас есть некое заданное количество денег, которые мы все должны потратить на два товара, то при заданных ценах на товар мы можем построить бюджетную линию, определяющую какие количества товаров мы можем купить при заданных ценах при данном бюджете.

Безразличие_7

Бюджетные линии у нас на рисунке изображены красным. Если у нас есть 15 рублей, а цена на чая равна 0,5 рублей за фунт, мы можем купить 30 фунтов чая, но при этом денег на мясо у нас уже не останется. Однако мы можем купить меньше чая, но при этом купить какое-то количество мяса - при этом понятно, что количество мяса, которое мы сможем купить, зависит от цены на мясо. Чем меньше цена на мясо, тем больше мы сможем его купить при отказе от того же количества чая, а поэтому чем ниже цена на мясо, тем выше будет проходить бюджетная линия. 

Если мы примем, что стоимость денег не меняется, тогда бюджетная линия будет представлять собой наклонную прямую линию. В самом деле, если мы обозначим количество имеющихся  в бюджете денег за M, то Px*X+Py*Y=M, где Px и Py - цена на соответствующие товары, из чего следует, что Y=M/Py-(Px/Py)*X, то есть при заданных ценах Y является обычной линейной функцией от X, то есть прамая убывающая линия, поднятая по вертикальной оси коодинат. При этом угол наклона этой прямой линии равен Px/Py.

Максимальную общую полезность при заданном бюджете и ценах покупатель получит в случае, если линия бюджета будет касательной к кривой безразличия  - ведь это будет самая высокая кривая безразличия из всех возможных, большую суммарную общую полезность при данных условиях получить нельзя. То есть касательная к кривой безразличия тогда будет совпадать с линией бюджета, а поскольку угол наклона кривой безразличия равен отношению их предельных полезностей, из этого следует, что цены будут пропорциональны предельным полезностям: MU(x)/Px=MU(y)/Py.

Таковы вкратце основные положения анализа кривых безразличия.   
Page generated Sep. 24th, 2017 09:10 pm
Powered by Dreamwidth Studios